2025年新人教版高考数学一轮复习讲义含答案解析 第四章　§4.5　三角函数的图象与性质.docxVIP

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义含答案解析

§4.5三角函数的图象与性质

课标要求1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质及正切函数在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的性质．

知识梳理

1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图

(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．

(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．

2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)

函数

y＝sinx

y＝cosx

y＝tanx

图象

定义域

R

R

eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)))))

值域

[－1,1]

[－1,1]

R

周期性

2π

2π

π

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

单调递增区间

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))

[2kπ－π，2kπ]

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))

单调递减区间

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))

[2kπ，2kπ＋π]

对称中心

(kπ，0)

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))

对称轴

方程

x＝kπ＋eq\f(π,2)

x＝kπ

常用结论

1．对称性与周期性

(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是eq\f(1,2)个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq\f(1,4)个周期．

(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是eq\f(1,2)个周期．

2．与三角函数的奇偶性相关的结论

(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)．

(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．

(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)．

自主诊断

1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数y＝sinx，x∈[0,2π]，y＝cosx，x∈[0,2π]的五个关键点是零点和极值点．(×)

(2)函数y＝sinx图象的对称轴方程为x＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．(×)

(3)若f(2x＋T)＝f(2x)，则T是函数f(2x)的周期．(×)

(4)函数y＝tanx在整个定义域上是增函数．(×)

2．(多选)已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))(x∈R)，下列结论正确的是()

A．函数f(x)的最小正周期为2π

B．函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递增

C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称

D．函数f(x)是奇函数

答案ABC

解析由题意得f(x)＝－cosx，

对于A，T＝eq\f(2π,1)＝2π，故A正确；

对于B，因为y＝cosx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递减，所以函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递增，故B正确；

对于C，f(－x)＝－cos(－x)＝－cosx＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以其图象关于直线x＝0对称，故C正确，D错误．

3．函数f(x)＝2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)