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大学数学基础教程：一元函数微积分

一、函数

微积分的主要课题在于研究变量的变化形态。这个说法很抽象。

说的直白一点，就是研究一个量的变化过程。这个量可以是速度，可

以是加速度，可以是生产率等等。这些是变化的，我们称之为变量。

中学时，已经学过，描述变量的数学模型是函数。因此从函数开始说

起。函数是中学数学的主要内容，概念这里就不重复了。对函数概念

的的理解需要重点把握定义域和对应法则，有了定义域和对应法则就

确定一个函数，换句话说，确定两个函数是否相同，定义域和对应法

则缺一不可。这里有一些考题，容易因为忽视了定义域而出现错误。

函数的表示形式有多种，运用数形结合的思想，在坐标系中画函

数图像，可以探索函数的性质（如单调性、周期性、奇偶性）。研究

函数的性质，有时可以在积分运算过程中简化运算。掌握了研究方法

后，复合函数、反函数和初等函数都可以自己来研究。

二、无穷小量

极限方法的本质就是无穷小量的分析。因此首先学习无穷小量。

定义设有数列{εn},如果对于任意给定的正数η0，都能取到正

整数N，使得当nN时成立

|εn|η,

则称n→∞时，{εn}是无穷小量，记作

εn=ο（1）,n→∞.

由定义可以看出，无穷小量的本质是可以任意小的变量。这个需

要好好理解。

掌握了该定义后，无穷小量的运算和无穷大量的定义都可以自己

给出。

无穷小量之间的关系有高阶、低阶、同阶、等价。这些概念要熟

记。

三、极限

极限是刻画变量变化趋势的重要工具。好多教材中数列的极限、

函数的极限、单侧极限的概念是分别给出的。对比这些概念，给出的

方法都相同，即ε-δ（N）语言。通用模型是这样的：

对于任意ε，存在δ，使得当****时成立，

|f（x）-A|ε,

则称f（x）在x→**时以A为极限，记作

或称f（x）收敛于A。

数列是定义域为整数集的特殊函数，函数极限的概念也可以用数

列极限的形式来表述。

这里有许多题型，主要题型是：证明

这类题目的一般解法是解不等式，用ε表示δ。

ε-δ（N）语言是重点，将极限的“无限逼近”直观判断转变成

精确的数学语言。极限的运算性质（极限的加减乘除）以及收敛数列

的基本性质（有界性、夹逼性）都可以应用ε-δ（N）语言给出证明。

关于这一知识点的题目可以出很多，往往要用到放缩的技巧。在做题

的过程中要注意总结。

单调有界数列毕竟是一类特殊的数列，那么对于一般数列，如何

判断是否存在极限？这时就用到了Cauchy收敛准则。大家可以自行

练习相关的习题。

四、两个重要极限

这个极限的重要性相信大家都知道。常数e在中学数理化科目中

经常见到，但是并不知道是怎么得来的。这个极限的证明过程用到了

从特殊到一般的思想。先证明x取正整数时，运用二项展开式以及单

调有界函数必有极限定理，公式成立。后用取整函数来放缩，再用夹

逼准则得出当x趋近于正无穷时公式成立。最后运用换元思想，取

y=-x证得当x趋近于负无穷时公式成立。整个证明过程运用了从特

殊到一般、分类讨论、换元的数学思想，以及巧妙的放缩技巧。在学

习中要反复体会证明过程，将证明过程烂熟于心，并学会用这些思想

将这一公式转化得到新的公式。

这个极限将三角函数和一次函数联系起来，其证明过程较简单。

运用数形结合、夹逼准则、分类讨论的方法证出。同样，这一证明过

程要烂熟于心，并能够扩展得到其他公式。

五、连续

这一知识点的考题常见是证明函数f（x）连续。理解好这两个

公式，套用第一个公式，这一类题都可以解决。

函数的间断点可分为无穷间断点、跳跃间断点、可去间断点。这

些概念经常在题干中出现，做题时候要会挖掘条件，列出相应的表达

式。

闭区间上的连续函数有一些非常好的性质，在以后中会体会到。

这些性质有有界性定理、最大最小值定理、介值定理、零点存在定理。

微分与导数

五、微分

理解好这个公式并明白这个公式的几何意义，就掌握了微分和可

微的概念。可微必连续。

六、导数

理解好这个公式并明白这个公式的几何意义，就