专题16 二次函数与正方形存在性问题（解析版）.docxVIP

专题16二次函数与正方形存在性问题

解题点拨

作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，从判定的角度来说，可以有如下：

（1）有一个角为直角的菱形；

（2）有一组邻边相等的矩形；

（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形．

依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标．

从未知量的角度来说，正方形可以有4个“未知量”，因其点坐标满足4个等量关系，考虑对角线性质，互相平分（2个）垂直（1个）且相等（1个）．

比如在平面中若已知两个定点，可以在平面中确定另外两个点使得它们构成正方形，而如果要求在某条线上确定点，则可能会出现不存在的情况，即我们所说的未知量小于方程个数，可能无解．

从动点角度来说，关于正方形存在性问题可分为：

（1）2个定点+2个全动点；

（2）1个定点+2个半动点+1个全动点;

甚至可以有：（3）4个半动点．

不管是哪一种类型，要明确的是一点，我们肯定不会列一个四元一次方程组求点坐标！

常用处理方法：

思路1：从判定出发

若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；

若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直；

若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件．

思路2：构造三垂直全等

若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点．

总结：构造三垂直全等的思路仅适合已知两定点的情形，若题目给了4个动点，则考虑从矩形的判定出发，观察该四边形是否已为某特殊四边形，考证还需满足的其他关系．

正方形的存在性问题在中考中出现得并不多，正方形多以小题压轴为主．

例：在平面直角坐标系中，A（1,1），B（4,3），在平面中求C、D使得以A、B、C、D为顶点的四边形是正方形．

如图，一共6个这样的点C使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形．

至于具体求点坐标，以为例，构造△AMB≌△，即可求得坐标．至于像、这两个点的坐标，不难发现，是或的中点，是或的中点．

题无定法，具体问题还需具体分析，如上仅仅是大致思路．

直击中考

1．如图，二次函数的图象与轴交于，，与轴交于点．

(1)求该二次函数的解析式及点的坐标；

(2)点为抛物线上一点，过作轴交直线于点，点为轴上一点，点为坐标系内一点，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，直接写出点的坐标．

【答案】(1)，

(2)，，

【分析】（1）直接将点的坐标代入关系式，求出解可得关系式，再令，可求出点C的坐标；

（2）先求出直线的关系式，可表示出，分为边和对角线时，求出坐标即可．

【详解】（1）解：∵的图象与轴交于，，

∴，

解得，

∴．

当时，

∴；

（2）解：设M点的坐标为，

将点和代入，得

，

解得，

所以直线的关系式为．

当时，，

则点N的坐标为，

∴的长度为

①当为边时，可知，

∴E，F均在x轴上，

∴M，N点到x轴的距离为，即．

∵为正方形，

∴，

即，

解得，，

当时，M点为A点，应舍去，

∴M点可为；

②当是对角线时，

得到，此时E点为的垂直平分线与x轴的交点

且为直角等腰三角形，故的长度应该为M到x轴的距离的2倍，

得到

解得，，，

同理时应舍去，

故M点可为，，

故综上M点坐标可为，，．

【点睛】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了待定系数法求二次函数关系式，正方形的判定，待定系数法求一次函数关系式等．注意：分情况讨论，不能丢解．

2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与直线交于、两点，，，其中点是抛物线的顶点，交y轴于点．

(1)求二次函数解析式；

(2)点是抛物线第三象限上一点（不与点、重合），连接，以为边作正方形，当顶点或恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的点的坐标．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）将解析式设为顶点式，将已知点坐标代入求解未知系数即可；

（2）设出未知点的坐标，根据顶点或恰好落在抛物线对称轴上的条件，建立含未知坐标的方程组，求解方程组即可．

【详解】（1）解：点是抛物线的顶点，

可设抛物线的解析式为，

抛物线经过点，

，

解得：，

二次函数的解析式为：

故答案为：；

（2）解：如下图所示，设点的坐标为，过点Q作轴，过点作轴，交于点M，过点F作轴交于点N，过点E作轴交于点K，

，，，，，

，且，

，

，，

，，

，

，

即，

，

，

点的横坐标为，

（1）当点在对称轴上，??

，即，

在上，

，解得：或（舍去），

故点为??

（2）当点在抛物线的对称轴上时，

点的横坐标为，

，即，

在上，

，即，

，

解得：或（舍去），

，

点的坐标为，

故点的坐标为：或．

【点睛】本题考查了二次函数的图像和性