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自主招生试题中常用的解题策略

自主招生数学试题一般有30个题左右，考试时间为三个小时。

考试内容涉及高中数学必修和选修内容。题型以填空题和解答题为

主，重点考查学生的基础知识和基础技能、发散思维和综合解决问

题能力。考试分值主要集中在解答题上，考生要想取得理想的成绩，

必须做好解答题，而很多解答题体现了一题多解的方法，其目的在

于考察学生的知识的宽度与发散思维能力。

1.一题多解的要求

一题多解就是对于同一道题目，可以从多种角度思考，采用多

种解题思路，运用不同的方法和技巧来解答。自主招生数学试题一

般难度较大，一题多解的要求是学生要具有扎实的基础知识和深度

思维能力，学生才能在解决问题时对所学的知识进行整合，对问题

进行多角度的观察和分析，找到每种角度的切入点和突破点。学生

往往认为，做完一道数学题只要得到一个正确的答案就行了，为什

么还要应用多种方法来完成一道数学习题呢？我认为，学生能不能

应用多种方法解答出一道数学习题与学生的思维宽度和思维深度

有关。因此这就要求教师在平时教学过程中要注重典型一题多解例

题的示范，从高起点、科学和规范地引导学生从不同的角度去分析

和思考同一个问题，进而拓展学生的知识广度与思维深度。课后通

过一题多解的练习，拓宽解题者的解题思路，促进学生发散性思维

水平提高。

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2.例谈一题多解的具体应用

笔者以2009年清华大学自主招生数学试题题2为例，该题考

察的是一个不等式题，也是高考甚至其它高校自主招生考试常考的

知识点，具体题目如下：

1、设为实数且，求证：对任意的正整数，有。

这道题的难度属于中等，李多敏[1]老师给出了该题6种解答，

这里笔者不打算再给出详细解答过程。仅从李多敏老师的每种解题

方法给出个人一点简单评析。

评析解法一、运用函数的知识解决问题。首先是把要证明的不

等式进行简单变形，然后构造一类特殊的函数即凸函数，最后从凸

函数性质的角度去分析并解决问题。函数知识是高中数学的基础，

也是高考常考甚至必考的内容。

评析解法二、运用数列的知识解决问题。从条件出发，把条件

进行变形，使得满足等差数列的定义，进而从等差数列的角度出发，

直接代入不等式的左边，利用二项目定理就得到结论。

评析解法三、运用三角函数的知识解决问题。从条件出发，联

想三角函数的平方关系，把条件进行三角代换，结合二项目定理和

三角函数的有界性来解决问题。

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评析解法四、运用排列组合的知识解决问题。巧妙地利用排

序不等式构造了二项式定理展开的通项，从而得出结论。

评析解法五、运用数学归纳法解决问题。在证明过程中，结合

课本中的基本不等式的性质使得该问题解决。巧妙地利用排序不

等式构造了二项式定理展开的通项，从而得出结论。

评析解法六、运用数学归纳解决问题。在证明过程中，推广教

材上一个基本不等式得到柯西不等式来解决问题。上述该题代表典

型的一题多解题，考生要想在一题多解题中做到迎刃而解，笔者提

出如下几点建议。

1、刚拿到试卷

一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看一下，看看考卷一共

几页，有多少道题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做

不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做

题”。

2、答题顺序：从卷首依次开始

一般地讲，全卷大致是先易后难的排列，所以，正确的做法是

从卷首开始依次做题，先易后难，最后攻坚。

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有的考生愿意从卷末难题开始做，他们认为自己前面的题没有

问题，好坏成败就看卷末的难题做得怎么样，开始时头脑最清醒，

先做最难的题成功率高、效果好，想以攻坚胜利保证全局的胜利。

这种想法看似有理，实际是错误的。一般卷末的题比较难，除了个

别水平特别高的学生，都没有做好该题的把握。很可能花了不少时

间，也没有把这个题满意地做完。你这时的思绪多半已经被搅得很

乱，又由于花了不少时间，别的题一点没有做，难免心里发慌，以

慌乱之心做前面的题，效果也会大打折扣。但也不是坚决地“依次”

做题，一份高考试卷，虽然大致是先易