第三讲 反比例函数（典例精讲）（解析版）.docxVIP

2023年中考数学典型例题系列之

函数篇

第三讲反比例函数（解析版）

一、反比例函数的概念。

概念

一般地，形如，叫做反比例函数，自变量x的取值范围是≠0的一切实数，y=kx还可以写成y=kx?1和xy=k的形式。

【提分要点】反比例函数图像上的点的横纵坐标之积是定值k

二、反比例函数的图像与性质。

概念

k

k＞0

k＜0

图像

所在象限

一、三

二、四

增减性

在每个象限内，y随x的增大而减少

在每个象限内，y随x的增大而增大

图像特征

图像无限接近于坐标轴，但不与坐标轴相交；关于直线y=±x成轴对称；关于原点成中心对称

三、反比例函数系数k的几何意义。

K的几何意义

在反比例函数上任取一点P(x，y),过这个点分别作x轴，y轴的垂线PM、PN，于坐标轴围成的矩形PMON的面积S=PM·PN===k

基本图形面积

基本图形面积

四、反比例函数的解析式。

待定系数法

设所求反比例函数解析式为：

找出反比例函数图像上一点P（a,b），并将其代入解析式得k=ab；

确定反比例函数解析式

利用k得几何意义

题中已知面积时，考虑利用k得几何意义，由面积得，再综合图像所在象限判段k得正负，从而得出k的值，代入解析式即可

【考点一】反比例函数的定义问题。

【典型例题】

（2021·四川成都·一模）点（﹣1，2）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（????）

A．（2，﹣） B．（2，﹣1） C．（﹣2，﹣1） D．（1，﹣）

【答案】B

【分析】将点（﹣1，2）代入y＝即可求出k的值，再根据k＝xy解答即可．

【详解】解：∵点（﹣1，2）在反比例函数y＝的图象上，

∴k＝﹣1×2＝﹣2，

∴y＝

A.∵，故点（2，﹣）不在y＝图象上；

B.∵，故点（2，﹣1）在y＝图象上；

C.∵，故点（-2，﹣1）不在y＝图象上；

D.∵，故点（1，﹣）不在y＝图象上；

故选：B．

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．

【对应练习1】

（2022·海南·统考中考真题）若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先利用反比例函数的图象经过点，求出k的值，再分别计算选项中各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．

【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，

∴k＝2×（﹣3）＝﹣6，

∵（﹣2）×（﹣3）＝6≠﹣6，

（﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6，

1×（﹣6）＝﹣6，

,6×1＝6≠﹣6，

则它一定还经过（1，﹣6），

故选：C．

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．

【对应练习2】

（2022·四川南充·校联考一模）反比例函数图象上有A（m，12），B（n，6m）两点，则n的值为________．

【答案】2

【分析】设出反比例函数的解析式为，分别把A（m，12），B（n，6m）两点代入，利用的值即可列出方程求解．

【详解】解：设反比例函数的解析式为，

∵A（m，12），B（n，6m）在反比例函数的图象上，

∴，

∵，

解得．

故答案为：

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点的坐标适合反比例函数的解析式．

【对应练习3】

（2022·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知反比例函数的图象经过点，则a的值为___________．

【答案】

【分析】把点的坐标代入反比例函数解析式，求出a的值即可．

【详解】解：把点代入得：

．

故答案为：．

【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，明确函数图像经过一个点，这个点的坐标就符合函数解析式是解题关键．

【考点二】反比例函数的图像和性质。

【典型例题1】

（2021·贵州黔西·中考真题）对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（）

A．图象经过点（1，﹣5）

B．图象位于第二、第四象限

C．当x＜0时，y随x的增大而减小

D．当x＞0时，y随x的增大而增大

【答案】C

【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．

【详解】解：反比例函数y＝﹣，

A、当x＝1时，y＝﹣＝﹣5，图像经过点（1，-5），故选项A不符合题意；

B、∵k＝﹣5＜0，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意；

C、当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C符合题意；

D、当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；

故选C．

【点睛】本题考查的是反比例函数的性质