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《数学归纳法》教材分析

一、本节知识结构框图

二、重点、难点

重点：数学归纳法的原理和应用.

难点：数学归纳法的原理.

三、教科书编写意图及教学建议

数学归纳法是一种特殊的数学演绎证明方法，是证明与正整数有关的数学命题的非常实用的研究工具，蕴含着丰富的数学文化和哲学思想.

数学归纳法的本质，是建立一种无穷递推机制，实现从有限到无限的飞跃.数学归纳法对提升学生的逻辑推理素养有着重要作用.但学生在初学时往往不容易掌握这种方法的本质，解题时会出现机械地硬套两个步骤的现象.为了让学生能够正确地理解和运用这种方法，教科书主要阐明了以下四个基本问题：（1）为什么要应用数学归纳法？（2）数学归纳法是怎样的一种方法？（3）什么时候需要应用数学归纳法？（4）怎样正确地应用数学归纳法？

1.数学归纳法的内容定位

本节内容为选学内容，不作为考试要求，但是鉴于数学归纳法是一种非常有用的数学证明方法，建议有条件的学校都应该让学生学习.通过本节内容的学习，学生可以通过具体情境，了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单问题，提升数学抽象和逻辑推理素养.

本节内容分为两部分.第一部分的主要内容是借助具体实例，通过对证明一个数学命题的过程和多米诺骨牌全部倒下的过程的类比和分析，获得证明数学命题的方法，进而推广为数学归纳法的原理和步骤；第二部分的重点是用数学归纳法证明数列中的一些简单问题，教科书为此安排了3个例题，通过3类典型的数列问题的证明，说明用数学归纳法证明命题的一般过程，巩固学生对数学归纳法的认识.

基于数学归纳法的内容定位，教科书通过加强数学归纳法的提炼过程、认知过程，深挖其育人价值，凸显了“重视两个过程，凸显一个价值”的教材编写特点.

2.数学归纳法的提炼过程

教科书一方面通过引例提出猜想，寻求证明猜想的方法；另一方面挖掘“骨牌原理”，类比骨牌原理”寻找和构建递推关系，呈现了数学归纳法产生的必要性与合理性.

具体说来，教科书采用的编写思路是：设置探究栏目引出如何证明与正整数n有关的数学命题的问题，引发学生对数学归纳法的学习兴趣→挖掘多米诺骨牌全部倒下的原理（以下统称“骨牌原理”）→类比、迁移“骨牌原理”，获得证明数学命题的方法→推广得到数学归纳法的原理.因此，数学归纳法的形成过程，蕴含了类比、迁移、从特殊到一般的抽象过程.

这种编排方式符合弗赖登塔尔和华罗庚先生对如何正确学习数学归纳法的阐释，把用数学归纳法才能解决的问题呈现在学生面前，使学生在形成直观认识的基础上发现这个方法.

（1）强化引例引导功能.为了使学生感受引入数学归纳法的必要性，教科书引入一个递推关系简洁明了、但其通项公式不能用常规方法严格证明的数列问题，并设置探究栏目进一步说明常规证明方法在解决这一问题时的不足，然后指明寻求新方法的方向：“通过有限个步骤的推理证明n取所有正整数时命题都成立”.

（2）深度挖掘“骨牌原理”.为了突出“现实情境数学问题数学形式化”的研究轨迹，教科书详细分析了“骨牌原理”，并通过思考栏目，引导学生分析使所有多米诺骨牌都能倒下的两个条件：

①第一块骨牌倒下；

②任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.

由此引导学生进一步深入分析条件②的作用给出了一个递推关系，事实上，虽然多米诺骨牌游戏是一种现实情境，但它能揭示数学归纳法的本质，类比价值较高，可以视为递推思想的一个模型，即条件①②就是数学归纳法原理的现实模型.

为实现现实情境向数学知识的自然迁移，教科书设置了第三个思考栏目，将多米诺骨牌游戏的两个步骤类比、迁移到证明猜想“数列的通项公式是”的问题中，使数学归纳法的原理生成水到渠成.教学时教师可引导学生按照如下推理方式，回顾猜想引例中数列的通项公式是的过程：

让学生认识到虽然可以这样一直验证下去，但是正整数有无限多个，无法对数列的所有项一一验证.因此，利用逐个验证的方法无法完成证明.教学时应引导学生反思上述验证过程，使学生发现验证的关键是依托递推关系ak+1

.

如果能够解决这个问题，就可以实现任意一项向下一项的过渡，从而可以利用有限个步骤的推理，解决无穷多个命题证明的问题.这样，学生就可以明确：如果能证明这个命题，那么猜想的证明就会迎刃而解.

在教学中，教师应引导学生把猜想的证明过程与“骨牌原理”进行类比，一步一步对照挖掘（表4-2）.重点要说明第二步是要证明一个命题：题设是，结论是.让学生独立思考如何证明这个命题.

表4-2“骨牌原理”与“猜想的证明步骤”对比分析

骨牌原理

猜想的证明步骤

第一块骨牌已经倒下

证明时，猜想正确

②