空间向量及其应用.pdf

第六节空间向量及其应用

考纲解读

1.空间向量及其运算.

（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解

及其坐标表示；

（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；

（3）掌握空间向量的数量积及其表示，能用向量的数量积判断向量的共线与垂直.

2.空间向量的应用.

（1）理解直线的方向向量与平面的法向量；

（2）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系；

（3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；

（4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向

量方法在研究几何问题中的应用.

命题趋势探究

立体几何试题中，证明线面、面面的位置关系一般利用传统方法（非向量法）证明，对

于空间角和距离的计算，既可用传统方法解答，也可以用向量法解答，而且多数情况下向量

法会更容易一些.预测在2015年高考对本专题的考查会在解答题中以中档题出现，分值保持

在12分左右.

知识点精讲

一、空间向量及其加减运算

1.空间向量

在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.



空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量的起点是，终

aA



BaABaAB

点是，则向量也可以记作，其模记为或.

2.零向量与单位向量



规定长度为0的向量叫做零向量，记作.当有向线段的起点与终点重合时，

0AB



AB0.

模为1的向量称为单位向量.

3.相等向量与相反向量

方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量

或相等向量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量.



与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为.

aaa

4.空间向量的加法和减法运算



（1），.如图8-152所示.

OCOAOBabBAOAOBab

（2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律



abba，abcabc



二、空间向量的数乘运算

1．数乘运算



实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算.当时，与向量方向相

aa0aa



同；当0时，向量与向量方向