重难点突破13 切线与切点弦问题（五大题型）.docx

重难点突破13切线与切点弦问题

目录TOC\o1-2\h\z\u

01方法技巧与总结 2

02题型归纳与总结 3

题型一：切线问题 3

题型二：切点弦过定点问题 5

题型三：利用切点弦结论解决定值问题 6

题型四：利用切点弦结论解决最值问题 9

题型五：利用切点弦结论解决范围问题 10

03过关测试 12

1、点在圆上，过点作圆的切线方程为．

2、点在圆外，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．

3、点在圆内，过点作圆的弦（不过圆心），分别过作圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．

4、点在圆上，过点作圆的切线方程为．

5、点在圆外，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．

6、点在圆内，过点作圆的弦（不过圆心），分别过作圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为．

7、点在椭圆上，过点作椭圆的切线方程为．

8、点在椭圆外，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．

9、点在椭圆内，过点作椭圆的弦（不过椭圆中心），分别过作椭圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．

10、点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．

11、点在双曲线外，过点作双曲线的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．

12、点在双曲线内，过点作双曲线的弦（不过双曲线中心），分别过作双曲线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．

13、点在抛物线上，过点作抛物线的切线方程为．

14、点在抛物线外，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．

15、点在抛物线内，过点作抛物线的弦，分别过作抛物线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．

题型一：切线问题

【典例1-1】已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，，过上一点作的两条渐近线的平行线，分别交轴于，两点，且，内切圆的圆心到轴的距离为．

(1)求的标准方程；

(2)（ⅰ）设点为上一点，试判断直线与C的位置关系，并说明理由；

（ⅱ）设过点的直线与交于，两点（异于的两顶点），在点，处的切线交于点，线段的中点为，证明：，，三点共线．

【典例1-2】（2024·湖南长沙·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为为上顶点，离心率为，直线与圆相切.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)椭圆方程，平面上有一点.定义直线方程是椭圆在点处的极线.

①若在椭圆上，证明:椭圆在点处的极线就是过点的切线;

②若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为，割线交椭圆于两点，过点分别作椭圆的两条切线，且相交于点.证明:三点共线.

【变式1-1】在平面直角坐标系中，动点到定点的距离比点到轴的距离大，设动点的轨迹为曲线，直线交曲线于两点，是线段的中点，过点作轴的垂线交曲线于点．

(1)求曲线的方程；

(2)证明：曲线在点处的切线与平行；

(3)若曲线上存在关于直线对称的两点，求的取值范围．

【变式1-2】已知抛物线，焦点为.过抛物线外一点（不在轴上）作抛物线的切线，其中为切点，两切线分别交轴于点.

(1)求的值；

(2)证明：

①是与的等比中项；

②平分.

【变式1-3】（2024·江西·高三校联考开学考试）已知抛物线，F为C的焦点，过点F的直线与C交于H，I两点，且在H，I两点处的切线交于点T．

(1)当的斜率为时，求；

(2)证明：．

题型二：切点弦过定点问题

【典例2-1】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：.

(1)若点在：上，记G的几何中心为点，则当取得最大值时，求点的坐标.

(2)已知动点、在C上，分别过、作抛物线的切线、，设和相交于点T，若点T恒在直线：上，求证：直线经过定点.

(3)将绕原点顺时针旋转90°得到，给定点，上有四点、、、，满足，、均三点共线，且、都在x轴上方，设线段和的中点分别为T、S，试判断：直线是否会经过一个定点？若会，请求出这个定点的坐标，若不会，请说明理由.

【典例2-2】已知曲线上的动点满足，且.

(1)求的方程；

(2)已知直线与交于两点，过分别作的切线，若两切线交于点，且点在直线上，证明：经过定点.

【变式2-1】（2024·青海海西·模拟预测）过直线上一个动点作抛物线的两条切线，分别为切点，直线与轴分别交于两点．(1)证明：直线过定点，并求点的坐标；

(2)在（1）的条件下，为坐标原点，求的最大值．

【变式2-2】（2024·浙江杭州·模拟预测）已知椭圆，直线，是直线上的动点，过作椭圆的切线，，切点分别为，

(1)当点坐标为时，求直线的方程；

(2)求证：当点在直线上运动时，直线恒过定点；

(3)是否存在点使得的重心恰好是椭圆的左顶点，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

【变式2-3】已知抛物线：过点，点B为直线上的动点，