重难点04点面、线面、面面、异面直线的距离（4种题型）（解析版）_1.docx

重难点04点面、线面、面面、异面直线的距离（4种题型）

【知识梳理】

点到平面的距离求解方法：直接作出点到平面的垂线段，然后求出垂线段的长度，而在作点面垂直时，通常先找面面垂直，然后作两个面交线的垂线，利用面面垂直的性质，即可找出垂线段。

空间立体几何中的距离包括点点距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离、面面距离.在这些距离当中，点到平面的距离显得尤为重要，在高考中也经常出现，并且线线距离、线面距离、面面距离都可以转化成点到平面的距离去求解。因此，点面距离就成了这一类距离问题的交汇点。

【考点剖析】

题型一：点面距离

1．（2021·上海市南洋模范中学高二期中）已知线段在平面外，、两点到平面的距离分别为1和3，则线段的中点到平面的距离为___________.

【答案】1或2.

【分析】根据两点与平面的位置关系，进行分类分析，利用梯形、三角形的中位线性质，可以求出线段的中点到平面的距离.

【详解】解：由题可知，、两点到平面的距离分别为1和3，

设线段的中点为，

当线段的端点在平面的同侧，如下图：

根据梯形中位线性质可知：线段的中点到平面的距离为；

当线段的端点在平面的异侧，如下图：

根据三角形中位线性质可知：线段的中点到平面的距离为，

所以线段的中点到平面的距离为1或2.

故答案为：1或2.

2．（2021·上海师范大学附属外国语中学高二阶段练习）如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，∠ACB=∠BCC1=90°，四边形ACC1A1是菱形，∠ACC1=120°.

(1)证明：A1C⊥AB1；

(2)若AC=2，求点C1到平面ABB1A1的距离.

【答案】(1)证明见解析(2)

【分析】(1)连接可得平面，所以，再由，得，得平面，由平面可得答案；.(2)利用等体积法求点C1到平面AA1B1的距离，由此可得答案.

(1)连接，因为四边形为菱形﹐所以，

因为，，，平面，

所以平面，且平面，所以，

因为，所以，

又因为，平面，

所以平面，

又平面，所以.

(2)点C1到平面ABB1A1的距离与点C1到平面AA1B1的距离相等，即三棱锥的底面上的高，设点C1到平面ABB1A1的距离为，则，

由(1)平面，

∴三棱锥的底面上的高为，

∴，

∵AC=2，为等腰直角三角形，四边形ACC1A1是菱形，

∴，又∠ACC1=120°

∴，的面积，

∴，

由，∠ACC1=120°可得，

∵，，

∴，又，

∴，∴，

∴的面积，

∴，

∴

3．（2021·上海大学附属南翔高级中学高二期中）已知正三棱锥的体积为，侧面与底面所成二面角的大小为60.

(1)证明：；

(2)求底面中心到侧面的距离.

【答案】(1)证明见解析(2)3

【分析】（1）取BC的中点D，连接AD、PD，根据线面垂直的判定和性质可得证；

（2）由（1）得是侧面与底面所成的二面角的平面角，过点O作，E为垂足，则OE的长就是点O到侧面的距离，利用棱锥的体积公式可求得答案.

(1)证明：取BC的中点D，连接AD、PD，则，

又，所以平面所以.

(2)解：如图，由（1）得平面平面，由是侧面与底面所成的二面角的平面角，过点O作，E为垂足，则OE的长就是点O到侧面的距离，

设OE为h，由题意得点O在AD上，所以

又，，

所以

所以底面中心到侧面的距离为3.

4．（2021·上海市行知中学高二期中）如图，AB是圆柱OO1的一条母线，BC是底面的一条直径，D是圆О上一点，且AB＝BC＝5，CD＝3．

(1)求该圆柱的侧面积；

(2)求点B到平面ACD的距离．

【答案】(1)(2)

【分析】（1）利用圆柱的侧面积公式计算出侧面积.

（2）利用等体积法求得到平面的距离.

(1)圆柱的底面半径为，高为，

所以圆柱的侧面积为.

(2)是圆的直径，所以，

，

.

根据圆柱的几何性质可知,

由于，所以平面，

所以.

，

，

设到平面的距离为，

则，即.

题型二：线面距离

5．（2021·上海静安·高二期末）如图，正四棱柱的底面边长为1，异面直线AD与BC1所成角的大小为60°，求A1B1到底面ABCD的距离.

【答案】

【分析】由，得，则线段的长为到底面ABCD的距离，然后求出即可．

【详解】解：因为，

所以为异面直线AD与所成的角，

所以，

因为正四棱柱中，平面ABCD，平面ABCD，

所以线段的长为线段到底面ABCD的距离，

因为在中，，，

所以，

所以线段到底面ABCD的距离为．

6．（2021·上海·高二专题练习）在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设；

（1）求的值；

（2）求直线到平面的距离.

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）由题意可得：就是异面直线与所成的角，即，根据线段的长度关系可得：为等边三角形，进而可求得答案；

（2）由平面得，直线到平面的