湘教版高中数学选择性必修第二册课后习题 第2章 空间向量与立体几何 2.4.4 向量与距离.docVIP

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第2章2.4.4向量与距离

A级必备知识基础练

1.已知a=(1,1,1)为平面α的一个法向量,A(1,0,0)为α内的一点,则点D(1,1,2)到平面α的距离为()

A.3 B.2 C.52 D.

2.直线l的方向向量为m=(1,1,0),且l过点A(1,1,1),则点P(2,2,-1)到直线l的距离为()

A.2 B.3 C.2 D.3

3.空间直角坐标系中A(0,0,0),B(1,1,1),C(1,0,0),D(-1,2,1),其中A∈α,B∈α,C∈β,D∈β,已知平面α∥平面β,则平面α与平面β间的距离为()

A.2626 B.1313 C.3

4.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,则点A到直线B1E的距离为()

A.12 B.1 C.52

5.已知点M(-1,1,-2),平面π过原点O,且垂直于向量n=(1,-2,2),则点M到平面π的距离是.?

6.已知平面α的法向量为n=(-2,-2,1),点A(x,3,0)在平面α内.若点P(-2,1,4)到平面α的距离d为103,则x=

7.[人教B版教材例题]如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是一个边长为1的正方形,PA⊥平面ABCD,PA=1.求点D到平面PBC的距离.

B级关键能力提升练

8.(多选题)已知平面α的法向量为n=(-1,-2,2),点A(x2,2x+1,2)为α内一点.若点P(0,1,2)到平面α的距离为4,则x的值为()

A.2 B.1 C.-3 D.-6

9.如图,在圆锥SO中,AB是底面圆O的直径,SO=AB=4,AC=BC,D为SO的中点,N为AD的中点,则点N到平面SBC的距离为()

A.43 B.

C.1 D.2

10.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则平面AB1D1与平面BDC1的距离为()

A.2 B.3 C.23 D.

11.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=(-6,2,-8),BC=(4,-2,3),A1

12.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=1,已知点H,A,C1三点共线,且AC1·

13.PA,PB,PC是从点P出发的三条线段,每两条线段的夹角均为60°,PA=PB=PC=1,AB=1.若点M满足PM=PA+2PB+3PC,则点M到直线AB的距离为

14.如图,已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.

(1)求点D到平面PEF的距离;

(2)求直线AC到平面PEF的距离.

C级学科素养创新练

15.[北师大版教材例题]已知向量OX=(1,0,0),OI=(0,2,0),OY=(4,3,3),对任意的实数a,b,当向量n=OY-(aOX+bOI)的长度最小时,求a,b的值.

16.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA1=2,D,E分别是CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.

(1)求A1B与平面ABD所成角的余弦值;

(2)求点A1到平面AED的距离.

2.4.4向量与距离

1.A依题意,AD=(0,1,2),而a=(1,1,1)为平面α的一个法向量,所以点D(1,1,2)到平面α的距离d=|a

2.C∵A(1,1,1),P(2,2,-1),

∴AP=(1,1,-2),又m=(1,1,0),

∴AP在m方向上的投影为|AP|·cosAP,m=AP·m|m|

3.A由已知得AB=(1,1,1),CD=(-2,2,1),AC=(1,0,0),设向量n=(x,y,z)与向量AB,CD都垂直,则n·AB=0

4.B建立如图所示的空间直角坐标系,连接B1A,B1E,由已知得A(0,0,0),E(0,1,12),B1(1,0,1),B1A=(-1,0,-1),B1E=(-1,1,-12),所以B1

5.73由题意,MO

∴MO·n=1+2+4=7.设MO与n的夹角为α,则由MO·n=|MO|·|n|cosα可知点M到平面π的距离为d=|MO

6.-1或-11由题意PA=(x+2,2,-4),由空间中点到平面距离的向量公式d=|PA·n

7.解依题意,AB,AD,AP是两两互相垂直的.

以A为原点,AB,AD,AP的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,1),所以BC=(0,1,0),

设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z),

则n

令z=1,则得x=1,y=0,此时n=(1,0,1).

因为|PD