专题2.4 直线的交点坐标与距离公式【八大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）_1_1.docx

专题2.4直线的交点坐标与距离公式【八大题型】

【人教A版（2019）】

TOC\o1-3\h\u

【题型1求两直线的交点坐标】 1

【题型2经过两直线交点的直线方程】 3

【题型3由直线的交点求参数】 4

【题型4三线能围成三角形的问题】 6

【题型5两点间的距离公式的应用】 8

【题型6点到直线的距离公式的应用】 9

【题型7两条平行直线间的距离公式的应用】 11

【题型8与距离有关的最值问题】 12

【知识点1两条直线的交点坐标】

1．两条直线的交点坐标

(1)两条直线的交点坐标

一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相

交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合.

(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系

设两直线,直线.

方程组的解

一组

无数组

无解

直线l1和l2的公共点个数

一个

无数个

零个

直线l1和l2的位置关系

相交

重合

平行

【题型1求两直线的交点坐标】

【例1】（2023·江苏·高二假期作业）直线x+2y-4=0与直线2x-y+2=0的交点坐标是（????）

A．(2,0) B．(2,1)

C．(0,2) D．(1,2)

【解题思路】解方程组x+2y

【解答过程】解方程组x+2y-

即直线x+2y-4=0与直线

故选：C.

【变式1-1】（2023·江苏·高二假期作业）直线2x+y+8=0和直线x+y-1=0的交点坐标是（????）

A．(-9，-10) B．(-9，10) C．(9，10) D．(9，-10)

【解题思路】直接解方程组可得.

【解答过程】解方程组2x+y+8=0，x+y-

故选：B.

【变式1-2】（2023秋·高二课时练习）判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标．

(1)直线l1

(2)直线l1

【解题思路】（1）解方程组，可得交点坐标；根据方程组的解的个数判断位置关系；

（2）分类讨论n，解方程组可得答案.

【解答过程】（1）联立2x-3

所以两直线相交，交点坐标为(-2,2).

（2）当n=-1时，l1:

联立x+

当n=1时，l1:

联立x-

当n≠±1，联立nx-y

所以两直线相交，交点坐标为(n

综上所述：当n=-1时，两直线重合；当n=1时，两直线平行；当n≠±1

【变式1-3】（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各对直线的位置关系.若相交，求出交点坐标：

（1）l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；

（2）l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.

【解题思路】两个直线方程列方程组求解，方程组有解即得交点坐标，方程组无解则两直线平行（有无数解，则两直线重合）．

【解答过程】（1）解方程组2x+y+3=0x-2y-1=0得x=-1y

（2）解方程组x+y+2=02x+2y+3=0①×2

所以直线l1与l2无公共点，即l1//l2.

【题型2经过两直线交点的直线方程】

【例2】（2023秋·天津西青·高二校考期末）过直线l1:x-2

A．2x-y=0 B．2x+

【解题思路】先求出直线l1:x

【解答过程】联立方程{x-2y+4=0x+y

又直线过原点

所以此直线的方程为：x

故选：D.

【变式2-1】（2023春·广东韶关·高二校考期中）经过两条直线l1:x+y

A．2x-y

C．3x-2

【解题思路】先求出两直线的交点坐标，再利用直线的方向向量求出斜率，利用点斜式求出直线方程.

【解答过程】联立直线l1与l2，x+

所以直线l1：x+y=2，l2

又直线的一个方向向量v=(-3,2)，所以直线的斜率为-

故该直线方程为：y-1=-

故选：D.

【变式2-2】（2023秋·广东广州·高一校考期中）过两直线x+y-3=0,2x

A．x+3y+5=0 B

C．x-3y+5=0

【解题思路】先求出两直线交点，再由与直线y=1

【解答过程】由x+y-3=02x-

又直线y=13x的斜率为13

故选：C.

【变式2-3】（2023·全国·高一专题练习）已知直线l1:x-y+1=0，l2:x

A．3x-4

C．4x-3

【解题思路】由于所求出直线与直线3x+4y-5=0

【解答过程】由于所求出直线与直线3x+4y

由x-y+1=0x-2=0，得x=2

因为直线4x-3

所以8-9+m=0，得

所以所求直线方程为4x

故选：D.

【题型3由直线的交点求参数】

【例3】（2022秋·广东广州·高二校考阶段练习）直线3x-(k+2)y+

A．k≠1或k≠9 B．k≠1或k≠-9 C．k≠1或k

【解题思路】根据给定条件，利用两条直线相交的充要条件