重难点突破17 圆锥曲线中参数范围与最值问题（八大题型）.docx

重难点突破17圆锥曲线中参数范围与最值问题

目录TOC\o1-2\h\z\u

01方法技巧与总结 2

02题型归纳与总结 2

题型一：弦长最值问题 2

题型二：三角形面积最值问题 4

题型三：四边形面积最值问题 6

题型四：弦长的取值范围问题 7

题型五：三角形面积的取值范围问题 8

题型六：四边形面积的取值范围问题 10

题型七：向量数量积的取值范围问题 10

题型八：参数的取值范围 12

03过关测试 14

1、求最值问题常用的两种方法

（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法．

（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值．求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法．

2、求参数范围问题的常用方法

构建所求几何量的含参一元函数，形如，并且进一步找到自变量范围，进而求出值域，即所求几何量的范围，常见的函数有：

（1）二次函数；（2）“对勾函数”；（3）反比例函数；（4）分式函数．若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决．这里找自变量的取值范围在或者换元的过程中产生．除此之外，在找自变量取值范围时，还可以从以下几个方面考虑：

①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．

②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系．

③利用基本不等式求出参数的取值范围．

④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．

题型一：弦长最值问题

【典例1-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左?右焦点分别为，上?下顶点分别为，四边形的面积为且有一个内角为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若以线段为直径的圆与椭圆无公共点，过点的直线与椭圆交于两点（点在点的上方），线段上存在点，使得，求的最小值.

【典例1-2】过点的直线与椭圆交于点A和B，且．点，若O为坐标原点，求的最小值．

【变式1-1】（2024·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别是，双曲线的顶点恰好是、，且一条渐近线是．

(1)求的方程：

(2)若上任意一点（异于顶点），作直线交于，作直线交于，求的最小值．

【变式1-2】已知曲线：.

(1)若曲线为双曲线，且渐近线方程为，求曲线的离心率；

(2)若曲线为椭圆，且在曲线上.过原点且斜率存在的直线和直线（与不重合）与椭圆分别交于，两点和，两点，且点满足到直线和的距离都等于，求直线和的斜率之积；

(3)若，过点A0,-1的直线与直线交于点，与椭圆交于，点关于原点的对称点为，直线交直线交于点，求的最小值.

【变式1-3】（2024·河南新乡·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，的周长为．

(1)求的方程；

(2)若的面积为，求的方程；

(3)若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．

题型二：三角形面积最值问题

【典例2-1】已知椭圆C：＝1（）的右焦点F的坐标为，且椭圆上任意一点到两点的距离之和为4.

(1)求椭圆C的标准方程

(2)过右焦点F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为，试问的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，请说明理由.

【典例2-2】（2024·湖南邵阳·三模）已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．

(1)求的方程．

(2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为．

（i）证明：直线过定点；

（ii）求面积的最大值．

【变式2-1】（2024·广东珠海·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，点在椭圆上，直线．

(1)若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围；

(2)当时，记直线与轴，轴分别交于两点，为椭圆上两动点，求的最大值．

【变式2-2】点A，B分别是椭圆的上顶点和左顶点，P是椭圆上一动点（不与右端点重合），P的横坐标非负，的中点是M，当P位于下顶点时的面积为1，椭圆离心率为.

(1)求椭圆方程；

(2)记的面积为，的面积为，求的最小值.

【变式2-3】已知椭圆的离心率为，椭圆的左，右焦点与短轴两个端点构成的四边形面积为.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线与轴交于点，与椭圆交于两点，过点作轴的垂线交椭圆交于另一点，求面积的最大值.

题型三：四边形面积最值问题

【典例3-1】记椭圆的左，右顶点和左，右焦点分别为，，，，P是E上除左右顶点外一点，记P在E处的切线为l，作直线交l于点，作直线交l于点，记直线与的交点为Q．

(1)求点Q的轨迹方程；

(2)求；

(3)求四边形面积的最大值．附：椭圆在点处的切