第十五讲 指数幂的运算性质-【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（北师大版2019）(解析版)_1.docx

【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（北师大版2019）

第十五讲指数幂的运算性质

【基础知识】

（一）概念

1.我们规定正数的分数指数幂的意义为：

2.正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.

即：

规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.

说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是

（二）指数幂的运算性质

由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：

（1）

（2）

（3）

【考点剖析】

考点一：根式的概念及性质

方法规律：在对根式进行化简时,要注意字母的取值范围,解题时要先确定字母的范围,再运用根式的性质化简,或将根式化为分数指数幂,利用幂的运算性质化简,防止弄错范围导致解题错误.

例1.用分数指数幂的形式表或下列各式（＞0）

；；.

【分析】先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.

【解析】解：；

；

例2.已知ab0,n1,n∈N*,化简n(a-

【解析】当n是奇数时,原式=(a-b)+(a+b)=2a;当n是偶数时,

因为ab0,所以a-b0,a+b0,

所以原式=|a-b|+|a+b|=(b-a)+(-a-b)=-2a.

所以n(a-

=2a,n

考点二：分数指数幂与根式的运算

警示：运用根式的性质解题时,要注意根指数的奇偶性,奇偶性不同性质不同,防止记错性质导致解题错误.

例3.计算:18-13×-760+80.25×4

【解析】18-13×-760+80.25×

=(2-3)-13×1+(23)14×21

=2-3×(-13)+2

考点三:指数幂的条件求值问题

例4.(1)计算:560+(1-2

(2)若10x=3,10y=2,求103x

【解析】解：(1)560+(1-2)2-8-1

(2)103x-y2=(103x-

【过关检测】

一、单项选择题

1.若a=3(3-π)3,b=4(2-π

A.1 B.5 C.-1 D.2π-5

【答案】A

【解析】a+b=3(3-π)3+4(2-π)4=3-π+|2-

2.已知x6=6,则x等于 ()

A.6 B.66 C.-66 D.

【答案】D

【解析】6是偶数,故当x6=6时,x=±66,故选

3.若xy≠0,则使4x2y2=-2xy

A.x0,y0 B.x0,y0

C.x≥0,y≥0 D.x0,y0

【答案】B

【解析】4x2y2=2|xy|=-2xy,

∵xy≠0,∴xy0.故选B.

4.下列运算正确的是 ()

A.a23a32=a B.a÷a32=a2

【答案】D

【解析】

对于A,a23a32=a23

对于B,a÷a32=a1-32=

对于C,a12a-2=a12-2=a

对于D,(a12)2=a12

5.化简[3(-5)2]

A.5 B.5 C.-5 D.-5

【答案】B

【解析】原式=(52)13×34=5

6.若a14,则化简4(4a-1)

A.4a-1 B.1-4aC.-

【答案】B

【解析】∵a14,∴

∴4(4a-1)2=

7.下列各式中正确的是 ()

A.nm7=n7m17

C.4x3+y3=(x+y

【答案】D

【解析】对于选项A,nm7=n7m-7,故A错误;对于选项B,12(-3)4=1234=33,故B错误;对于选项C,4x3+y3=(x3+y3)14,故C错误;对于选项

8.A4纸是生活中最常用的纸规格.A系列的纸张规格特色在于:①A0、A1、A2、…、A5,所有尺寸的纸张长宽比都相同;②在A系列纸中,以前一个序号的纸张的两条长边中点连线为折线对折裁剪分开后,可以得到两张后面序号大小的纸,比如1张A0纸对裁后可以得到2张A1纸,1张A1纸对裁后可以得到2张A2纸,依此类推.这是因为A系列纸张的长宽比为2∶1这一特殊比例,所以具备这种特性.已知A0纸规格为84.1厘米×118.9厘米.118.9÷84.1≈1.41≈2,那么A4纸的长度约为 ()

A.14.8厘米 B.21.0厘米C.29.7厘米 D.42.0厘米

【答案】C

【信息提取】①A0、A1、A2、…、A5,所有尺寸的纸张长宽比都相同;②在A系列纸中,以前一个序号的纸张的两条长边中点连线为折线对折裁剪分开后,可以得到两张后面序号大小的纸;③A系列纸张的长宽比为2∶1;④A0纸规格为84.1厘米×118.9厘米.

【数学建模】由生活中常见纸张规格之间的长度关系建立指数幂的有关数学模型,根据题意设出A4纸的长度,利用指数幂的运算求解.

【解析】设A4纸的长度为x厘米,则A3纸的长度为2x厘米,以此类