第十讲 生活中的变量关系、函数的概念、函数的表示法-【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（北师大版2019）(原卷版)_1.docx

【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（北师大版2019）

第十讲生活中的变量关系、函数的概念、函数的表示法

【基础知识】

1.函数映射的概念

函数

映射

两集合

A，B

设A，B是两个非空数集

设A，B是两个非空集合

对应

关系

f：A→B

如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应

如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应

名称

称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数

称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射

记法

y＝f(x)，x∈A

对应f：A→B是一个映射

2．函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域：

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．

3．函数的表示法

表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法．

4.函数的本质

函数的本质是两个非空数集间的一种确定的对应关系．由于函数的定义域和对应法则一经确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等只须两个函数的定义域和对应法则一样即可.

5．分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

6.区间概念：

设a，b∈R，且ab.

(1)满足a≤x≤b的全体实数x的集合，叫做闭区间，记作[a，b]．

(2)满足axb的全体实数x的集合，叫做开区间，记作(a，b)．

(3)满足a≤xb或ax≤b的全体实数x的集合，叫做半开半闭区间，分别记作[a，b)或(a，b]．

(4)满足x≥a，xa，x≤a，xa的全体

实数x的集合分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，a]，(－∞，a).

7.在数轴上表示区间[a，b]、(a，b)、[a，b)、(a，b]、[a，＋∞)、(a，＋∞)

如图所示：

a，b叫做区间的端点，在数轴上表示区间时，属于这个区间端点的实数，用实心点表示，不属于这个区间端点的实数，用空心点表示．

【考点剖析】

考点一：变量与函数的概念

例1对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有()

①y是x的函数；②对于不同的x，y的值也不同；

③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】B

【解析】①③正确，②是错误的，对于不同的x，y的值可以相同，这符合函数的定义，

④是错误的，f(x)表示的是函数，而函数并不是都能用具体的式子表示出来．

结论：(1)在y＝f(x)中f表示对应法则，不同的函数其含义不一样；

(2)f(x)不一定是解析式，有时可能是“列表”、“图象”；

(3)f(x)与f(a)是不同的，前者为变数，后者为常数．

考点二：求函数的定义域

例2求下列函数的定义域：

(1)f(x)＝eq\f(1,x－2)；(2)f(x)＝eq\r(3x＋2)；(3)f(x)＝eq\r(x＋1)＋eq\f(1,2－x).

【解析】解：(1)∵x≠2时，分式eq\f(1,x－2)有意义，

∴这个函数的定义域是{x|x≠2}．

(2)∵3x＋2≥0，即x≥－eq\f(2,3)时，根式eq\r(3x＋2)才有意义，

∴这个函数的定义域是{x|x≥－eq\f(2,3)}．

(3)∵要使函数有意义，必须eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0,2－x≠0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥－1,x≠2)).

∴这个函数的定义域是{x|x≥－1且x≠2}．

结论：求函数定义域的原理：使函数表达式有意义的自变量的取值范围

考点三：求函数值和值域

例3求函数f(x)＝eq\f(1,x2＋1)(x∈R)，在x＝0,1,2处的函数值和值域．

【解析】解：f(0)＝eq\f(1,02＋1)＝1，

容易看出，这个函数当x＝0时，函数取得最大值1，当自变量x的绝对值逐渐变大时，函数值逐渐变小至趋向于0，但永远不会等于