第2章 等式与不等式全章复习与测试（原卷版）_1.docx

第2章等式与不等式全章复习与测试

【知识梳理】

1.不等式的性质

（1）实数的大小比较与实数运算性质之间的关系

；；

（2）不等式的基本性质

性质1.（传递性）如果，那么

性质2.（加法性质）如果，那么

性质3.（乘法性质）如果，，那么；如果，那么

（3）从不等式的基本性质出发，还可以得到哪些有用的推论？

推论1.；推论2.

推论3.；推论4.

推论5.；推论6.

推论7.

（4）如何比较不等式的大小？

=1\*GB3①作差法=2\*GB3②作商法

【总结】

不等式证明的常用方法：

（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；

（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；

（3）分析法；

（4）平方法；

（5）分子（或分母）有理化；

（6）利用函数的单调性；

（7）寻找中间量或放缩法；

（8）图象法.

其中比较法（作差、作商）是最基本的方法.

2.解不等式

（1）一元一次不等式的解集的讨论：

2.不等式的性质

（1）不等式的解集：

当时，解集为；当时，解集为；

当且时，解集为；当且时，解集为.

（2）一元二次不等式的解集的讨论：

一元二次不等式解集如表所示：（当方程方程的两个不相等的实根时，不妨设为，且）

【总结】

1、一元二次方程、一元二次不等式、二次函数间的联系：

一元二次方程的两个根即为一元二次不等式的解集的端点值，也是二次函数的图象与轴的交点的横坐标.

2、解一元二次不等式的步骤：

（1）化标准：将不等式化成标准形式（右边为0、最高次的系数为正）；

（2）考虑判别式：计算判别式的值，若值为正，则求出相应方程的两根；

（3）下结论：注意结果要写成集合或者区间的形式.

记忆口诀：大于取两边，小于取中间（前提）.

【拓展】一元二次方程根的分布理论：

1、方程在上有实数解，首先要讨论最高次项系数是否为0，其次，若，则一定有．

2、方程在上有两根充要条件是；在上有两根的充要条件是；在和上各有一根的充要条件分别是：.

若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，再令和检查端点的情况．当然也可以利用参变分离结合函数图像来做

（3）分式不等式的解法

同解变形法（分式不等式整式不等式一次、二次不等式）

=1\*GB3①同解；

=2\*GB3②与不等式组同解.

（4）一元高次不等式的解法——标根法

其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集.

若，则不等式或的解法如下图（即“数轴标根法”）：

【提醒】

标根法主要用于简单的一元高次不等式题型，因为上海高考不作要求，可以简单的了解

（5）绝对值不等式的解法

方法一：应用分类讨论思想去绝对值（最后结果应取各段的并集）；

方法二：应用数形结合思想；

方法三：应用化归思想等价转化.

=1\*GB3①最简单的绝对值不等式的同解变形

；；

或；或.

=2\*GB3②关于绝对值不等式的常见类型有下列的同解变形

；

或；

.

【拓展】不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：

（1）恒成立问题

若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上；

若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上.

补充：不等式恒成立问题的常规处理方式：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法.

（2）能成立问题

若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；

若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上.

（3）恰成立问题

若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的解集为；

若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的解集为.

（5）含参不等式的解法

求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”

【注意】

1、解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”；

2、按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集；

3、解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论，如果遇到下述情况则一般需要讨论：

①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性；

②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论；

③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析），比较两个根的大小,设根为（或更多）但含参数，要分、、讨论.

3.常用的基本不等式

（1）如果，那么（当且仅当a=b时等号成立）；