第七讲 基本不等式-【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（北师大版2019）(原卷版)_1.docx

【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（北师大版2019）

第七讲基本不等式

【基础知识】

一、基本不等式(或)均值不等式

二、基本不等式的变形与拓展

1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）．

2．(1)若,则；

(2)若,则（当且仅当时取“=”）；

(3)若,则（当且仅当时取“=”）．

3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．

4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．

5．一个重要的不等式链：．

6．函数图象及性质

(1)函数图象如右图所示：

(2)函数性质：

①值域：；

②单调递增区间：；单调递减区间：．

7.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”；

(2)求最值的条件“一正,二定,三相等”；

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．

【考点剖析】

考点一：利用基本不等式求最值

例1.（1）若，则的最小值为.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

【答案】

【解析】，当且仅当时取等号.

（2）函数的最大值为（）

A． B． C． D．1

【答案】B

【解析】（当且仅，即时取等号）。故选B。

考点二：不等式变形技巧：“1”的代换

例2.已知都是正数,且，则的最小值等于

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】,故选C.

（2）函数的图象恒过定点，若点在直线

上，则的最小值为．

【答案】4

【解析】函数的图象恒过定点，，，，

（方法一）：，（当且仅当m=n=时等号成立）.（方法二）：（当且仅当m=n=时等号成立）.

考点三：均值不等式在实际问题中的应用

例3.某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．

【答案】220

【解析】设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1＝k1x(k1≠0)，y2＝eq\f(k2,x)(k2≠0)，

∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，

∴k1＝5，k2＝20，

∴运费与仓储费之和为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋\f(20,x)))万元，

∵5x＋eq\f(20,x)≥2eq\r(5x×\f(20,x))＝20，当且仅当5x＝eq\f(20,x)，即x＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元．

考点四：不等式的综合应用求参数的取值范围问题

方法规律:

配凑法是解决这类问题的常用方法,其目的是将代数式或函数式变形为基本不等式适用的条件,对于这种没有明确定值式的求最大值（最小值）问题,要灵活依据条件或待求式合理构造定值式

例4.对于实数，规定表示不大于的最大整数，那么不等式成立的的取值范围是（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先解一元二次不等式得，再根据定义求结果.

详解：因为，所以

因为，所以,

故选C。

【过关检测】

1．已知正实数a，b满足，则的最小值为（）

A．4 B．6 C．9 D．10

2．已知a＞0，b＞0，且满足ab＝a+b+3，则a+b的最小值是（）

A．2 B．3 C．5 D．6

3．两个正实数a，b满足3a+b＝1，则满足，恒成立的m取值范围（）

A．[﹣4，3] B．[﹣3，4] C．[﹣2，6] D．[﹣6，2]

4．若x＞0，y＞0，x+y＝2，则的最小值为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．若点（m，n）在反比例函数y＝的图象上，其中m＜0，则m+3n的最大值等于（）

A．2 B．2 C．﹣2 D．﹣2

6．已知a＞﹣1，b＞0，a+2b＝1，则的最小值为（）

A． B． C．7 D．9

7．已知x＞0，y＞0，且2x+y＝xy，则4x+2y的最小值为（）

A．8 B．12 C．16 D．20

8．若mn＝1，其中m＞0，则m+3n的最小值等于（）

A． B．2 C． D．

9．若正实数x，y满足+＝1，且x+≥a2﹣3a恒成立，则实数a的取值范围为（）

A．[﹣1，4] B．（﹣1，4） C．[﹣4，1] D．（﹣4，1）

10．已知函数y＝x﹣4+（x＞﹣1），当x＝a时，y取得最小值b，则