第08讲 基本不等式（8种题型）（原卷版）_1.docx

第08讲基本不等式（8种题型）

【知识梳理】

1.均值不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)

(1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.

(3)其中eq\f(a＋b,2)称为正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)称为正数a，b的几何平均数.

2.两个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

(2)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

3.利用均值不等式求最值

已知x≥0，y≥0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq\r(p)(简记：积定和最小).

(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq\f(s2,4)(简记：和定积最大).

【考点剖析】

题型一：基本（均值）不等式的应用

例1.已知为实数，且，则下列命题错误的是（???????）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【变式1】（多选）已知，则（???????）

A．的最大值为

B．的最小值为4

C．的最小值为

D．的最小值为1

【变式2】（多选）已知，则（???????）

A．的最大值为

B．的最小值为4

C．的最小值为

D．的最小值为16

【变式3】若正数满足，则的最大值为______．

题型二：根据基本不等式比较大小

例2．若，，，则下列不等式恒成立的是（???????）

A． B．

C． D．

【变式1】（多选）设，则下列不等式中一定成立的是（???????）

A． B．

C． D．

【变式2】（多选）已知，，给出下列四个不等式，其中正确的不等式有（???????）

A． B．

C． D．

【变式3】设a＞0，b＞0，给出下列不等式：

①a2＋1＞a；???②；?????③(a＋b)；???④a2＋9＞6a.

其中恒成立的是________(填序号).

【变式4】已知，则与的大小关系是____________

【变式5】甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车一半路程的速度为a，另一半路程的速度为b．若，试判断哪辆车先到达B地．

题型三：根据基本不等式证明不等关系

例3.已知，，，下列不等式正确的个数有（???????）

①，②，③，④.

A．1 B．2 C．3 D．4

【变式1】（多选）已知、、，若，则（???????）

A． B． C． D．

【变式2】已知，则与的比较______．

【变式3】已知，求证：.

【变式4】证明不等式：

(1)若，，，都是正数，求证：；

(2)若，，是非负实数，则；

(3)若，是非负实数，则；

(4)若，，则．

【变式5】下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例．

(1)若，则；

(2)若，则；

(3)若，则．

【变式6】（1）已知、、，求证：（）；

（2）若，，，求证：.

【变式7】设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：

（Ⅰ）ab+bc+ac；

（Ⅱ）.

题型四：基本不等式求积的最大值

例4.（多选）已知，，且，则下列说法正确的是（???????）

A．的最小值为 B．的最大值为

C．的最大值为 D．的最小值为

【变式1】已知，，如果，那么的最小值为________；如果，那么的最大值为________．

【变式2】已知实数，且，则的最大值为______．

【变式3】已知，，若，则的最大值为_________

【变式4】已知，则函数的最大值为_______.

【变式5】已知.

(1)若x?，求的最大值；

(2)若x?，求的取值范围.

【变式6】已知集合?.

(1)求集合?

(2)若函数?，求?的最大值.

题型五：基本不等式求和的最小值

例5.负实数、满足，则的最小值为（???????）

A． B． C． D．

【变式1】已知，则的最小值是______．

【变式2】已知正实数x，y满足，则最小值为______．

【变式3】（1）已知，求的最小值；

（2）已知，且，证明：．

【变式4】冬奥会期间，冰墩墩成热销商品，一家冰墩墩生产公司为加大生产，计划租地建造临时仓库储存货物，若记仓库到车站的距离为（单位：），经过市场调查了解到：每月土地占地费（单位：万元）与成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则与分别为万元和万元.记两项费用之和为.

(1)求关于的解析式；

(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？求出最小值．

题型六：条件等式求最值

例6.若，，且，则的最小值为（???????）

A．9 B．