第07讲不等式的基本性质（解析版）_1.docx

第07讲不等式的基本性质

【题型目录】

题型一：等式与不等式的性质

题型二：不等关系与不等式

题型三:不等式比较大小

【知识梳理】

1．等式的性质

2.不等式的基本性质

(1)对称性：a＞b?b＜a.

(2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c.

(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c.

(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc.

(5)加法法则：a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d.

(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd.

(7)乘方法则：a＞b＞0?an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．

3.比较两式大小的常见方法：作差法、作商法

作差法：作差是两式比较大小的常用方法，基本步骤如下：

第一步：作差；

第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；

第三步：定号，重点是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0．最后得结论．概括为“三步，—结论”，这里的“变形”一步最为关键．

注1：有的问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时，再作差，予以比较；

注2：含参不等式的大小判断要注意符号问题，具体根据不等式性质判断．注意分类合理恰当．

作商法：

注：在两式无法确定正负号或是否可能为0的情况下无法适用.

作商法的基本步骤是：①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小.

【考点剖析】

一．等式与不等式的性质（共11小题）

1．（2022秋?秦淮区校级月考）下列结论正确的是（）

A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＞b，则

C．若a＞b，则a+c＞b+c D．若a＞b，则a2＞b2

【分析】利用不等式的基本性质判断C，利用举实例法判断ABD．

【解答】解：A，当a＝2，b＝1，c＝0时，满足a＞b，但ac＝bc，∴A错误，

B，当a＝2，b＝1时，满足a＞b，但＜，∴B错误，

C，若a＞b，由不等式的性质，则a+c＞b+c，∴C正确，

D，当a＝2，b＝﹣3时，满足a＞b，但a2＜b2，∴D错误，

故选：C．

【点评】本题考查不等式的基本性质，举实例法的应用，属于基础题．

2．（2022秋?新区校级期中）已知＜＜0，则下列结论不正确的是（）

A．a2＜b2 B．ab＜b2 C．+＞2 D．|a|+|b|＞|a+b|

【分析】由题意先求出b＜a＜0，根据它们的关系分别用作差法判断A和B选项，利用基本不等式判断C选项，由几何意义判断D选项．

【解答】解：∵＜＜0，∴b＜a＜0，

A、∵b＜a＜0，∴a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）＜0，则a2＜b2，故A对；

B、ab﹣b2＝b（a﹣b）＜0，则ab＜b2，故B对；

C、∵b＜a＜0，∴＞0，＞0，则+≥2且当a＝b时取等号，又因b＜a，

∴+＞2，故C对；

D、∵b＜a＜0，∴|a|+|b|＝|a+b|成立，故D不对．

故选：D．

【点评】本题考查了比较大小的方法，作差法和基本不等式，用基本不等式时应验证三个条件，即一正二定三相等是否成立．

3．（2022秋?栖霞区校级期中）设a＜b＜0，给出下列四个结论：①a+b＜ab；②2a＜3b；③a2＜b2；④a|a|＜b|b|．其中正确的结论的序号为（）

A．①② B．①④ C．②③④ D．①②③

【分析】根据数的性质以及不等式性质可判断①③；举反例可判断②，根据不等式性质可判断④．

【解答】解：∵a＜b＜0，∴a+b＜0，ab＞0，∴a+b＜ab，故①正确；

不妨取a＝﹣3，b＝﹣2，满足a＜b＜0，但2a＝3b，故②错误；

由a＜b＜0，可得|a|＞|b|，∴a2＞b2，故③错误；

由a＜b＜0，可知﹣a＞﹣b＞0，而|a|＞|b|＞0，

故﹣a|a|＞﹣b|b|＞0，即a|a|＜b|b|，故④正确，

故选：B．

【点评】本题主要考查不等式的基本性质，考查逻辑推理能力，属于基础题．

4．（2022秋?苏州月考）下列说法中，错误的是（）

A．若a2＞b2，ab＞0，则

B．若，则a＞b

C．若b＞a＞0，m＞0，则

D．若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣d

【分析】由特值法可判断A；由不等式的性质可判断BD；利用作差法可判断C．

【解答】解：对于A，若a2＞b2，ab＞0，取a＝﹣4，b＝﹣2，则＞，故A错误；

对于B，若，则＞0，所以a＞b，故B正确；

对于C，若b＞a＞0，m＞0，则b﹣a＞0，

则＝＞0，所以，故C正确；

对于D，若a＞b，c＜d，则﹣c＞﹣d，所以a﹣c＞b﹣d，故D正确．

故选：A．

【点评】本题主要考查不等式的基本性质，考查特值法的应用，属于基础题．

（多选）5．（2022秋?建湖县校级期末）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）

A．a+c＞b+c B．ac2≥bc2

C． D．（a+b）