第六章 空间向量及其运算（知识归纳+题型突破）（原卷版）_1.docx

第六章空间向量与立体几何（知识归纳+题型突破）

1.通过向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念.

2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律.

3.掌握共线向量定理，会用共线向量定理解决相关问题．

4.了解空间向量的夹角及有关概念.掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法.

5.了解空间向量投影的概念及投影向量的意义.会用投影向量计算空间两个向量的数量积．

6.了解共面向量的概念.理解空间共面向量定理，会证明直线与平面平行.

7.理解空间向量共面的充要条件，会证明空间四点共面．

8.掌握空间向量基本定理及其推论.会选择适当的基底表示任何一个空间向量．

9.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置.

10.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.掌握空间向量的平行及线性运算的坐标表示.

11.掌握空间向量的数量积的坐标表示.能利用空间两点间的距离公式解决有关问题.

12.能用向量语言表述直线和平面.理解直线的方向向量与平面的法向量.

13.会求直线的方向向量与平面的法向量.

14.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系.

15.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行、垂直关系.

16.能用向量方法解决简单夹角问题.通过空间向量解决夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用.

17.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面及线面间的距离问题.

18.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用.

1．空间向量的定义及表示

定义

在空间，把既有大小又有方向的量，叫作空间向量．

长度或模

空间向量的大小叫作空间向量的长度或模

表示方法

几何表示

与平面向量一样，空间向量也可用有向线段表示

符号表示

表示空间向量的有向线段，若以A为起点，B为终点，则记作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|

空间向量常用一个小写字母表示.如：向量a，b，其模分别记为|a|，|b|

注意点：

(1)平面向量是一种特殊的空间向量．

(2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同．

(3)向量不能比较大小．

2．几类特殊的空间向量

名称

定义及表示

零向量

规定长度为0的向量称为零向量，记作0

单位向量

长度等于1个单位长度的向量，叫作单位向量

相反向量

与向量a长度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作－a

相同的向量

所有长度相等且方向相同的向量都看作相同的向量，向量a与b是相同的向量，也称a与b相等.

3.空间向量及其线性运算

空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：

①a＋b＝b＋a；

②(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；

③λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R).

向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.

4.共线向量及共线向量定理

(1)共线向量(平行向量)

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作共线向量或平行向量.

向量a与b平行，记作a∥b.

规定零向量与任意向量共线.

(2)共线向量定理

对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.

5.空间向量的夹角

定义

a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉

范围

0≤〈a，b〉≤π

特殊夹角

(1)如果〈a，b〉＝0，a与b同向；

(2)如果〈a，b〉＝π，a与b反向；

(3)如果〈a，b〉＝eq\f(π,2)，a与b互相垂直，记作a⊥b.

6.空间向量的数量积

(1)定义：设a，b是空间两个非零向量，数量|a‖b|cos〈a，b〉叫作向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a‖b|cos__〈a，b〉.

(2)性质：①规定：零向量与任一向量的数量积为0.

②空间两个非零向量a，b的夹角〈a，b〉可以由cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)求得.

③a⊥b?a·b＝0(a，b是两个非零向量)，|a|2＝a·a＝a2.

(3)运算律：与平面向量一样，空间向量的数量积也满足下列运算律：

①a·b＝b·a；

②(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)；

③(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

7.空间向量的投影向量

(1)向量a在向量b上的投影向量

①定义：对于空间任意两个非零向量a，b，设向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b(如图)，过点A作AA1⊥OB，垂足为A1，上述由向量a