湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题（原卷版）.docx

雅礼教育集团2023年上学期期中考试试卷

高一数学

时量：120分钟满分：150分

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.若复数满足，则的虚部是（）

A. B. C. D.

2.若，，，的夹角为，则等于（）

A. B. C. D.

3.在中，点D是AB中点，则（）

A. B.

C. D.

4.设，则“”是“”的（）．

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5.如图，三棱柱中，底面三角形是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（）

A.直线与直线是异面直线 B.直线与直线AE是共面直线

C.直线AE与直线是异面直线 D.直线AE与直线是共面直线

6.灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围．如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球冠）．如图2，球冠是由球面被一个平面截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径为R，球冠的高为h，则球冠的面积．已知该灯笼的高为46cm，圆柱的高为3cm，圆柱的底面圆直径为30cm，则围成该灯笼所需布料的面积为（）

A. B. C. D.

7.若，，，，则（）

A. B. C. D.

8.已知，，，平面区域为由所有满足的点组成的区域（其中，），若区域的面积为，则的最小值为（）

A. B. C. D.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9.在中，已知，，，则角的值可能为（）

A. B. C. D.

10.下列说法中正确的是（）

A.若，则

B单位向量，则

C.若点为的重心，则

D.当时，使成立的的取值范围为

11.已知表示两条直线，表示三个不重合的平面，给出下列命题，正确的是（）

A.若，且，则

B.若相交，且都在外，，则

C.若，且，则

D.若，则

12.已知函数，且，，则下列结论正确的是（）

A. B.

C.在上单调递减 D.最小值为

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.命题“，都有”的否定是___________.

14.复数的模为__________.

15.已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为__________．

16.在凸四边形中，，，，则长度范围__________.

四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知棱长为1的正方体中．

（1）证明：平面；

（2）求三棱锥的体积．

18.已知向量，，其中.

（1）当时，求x值的集合；

（2），求.

19.已知函数的部分图象如图所示．

（1）求的解析式；

（2）若函数，求在区间上的最大值和最小值．

20.某环保组织自2022年元旦开始监测某水域水葫芦生长的面积变化情况，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过近一年的观察发现，自2022年元旦起，水葫芦在该水域里生长的面积增加的速度是越来越快的．最初测得该水域水葫芦生长的面积为n（单位：），二月底测得水葫芦的生长面积为，三月底测得水葫芦的生长面积为，水葫芦生长的面积y（单位：）与时间x（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是；另一个是，记2022年元旦最初测量时间x的值为0．

（1）根据本学期所学，请你判断哪个函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式；

（2）该水域中水葫芦生长面积在几月份起是元旦开始研究时其生长面积60倍以上？（参考数据：，）

21.在锐角中，角的对边分别是，，，若

（1）求角的大小；

（2）若，求中线长的范围（点是边中点）.

22已知函数（，且）满足.

（1）求a的值；

（2）求证：在定义域内有且只有一个零点，且.