第14讲 余弦函数与正切函数【秋季讲义】（人教A版2019必修第一册）（解析版）_1_1.docx

第14讲余弦函数与正切函数

【人教A版2019】

·模块一余弦函数

·模块二正切函数

·模块三课后作业

模块一

模块一

余弦函数

1．余弦函数的图象

(1)余弦函数的图象

①图象变换法作余弦函数的图象

由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函

数y=,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示.

②五点法作余弦函数的图象

类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=在[0,2]

上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=在[0,2]上的简图，再通过左右平移(每次移动2个单位长度)即可得到余弦函数y=,x∈R的图象.

(2)余弦曲线

余弦函数的图象叫做余弦曲线.它是具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.

2．余弦函数的性质

(1)周期函数

①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，

且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)

的最小正周期.

(2)余弦函数的性质

余弦函数的图象与性质如下表：

函数

y=cosx

图象

定义域

R

值域

[-1,1]

周期性

最小正周期：2π

奇偶性

偶函数

单调性

增区间

减区间

最值

图象对称性

对称中心：

对称轴方程：

【考点1余弦函数的图象与性质】

【例1.1】（2023·河南新乡·统考三模）已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(0

A．f(x)=cos2x

C．f(x)在7π8

【解题思路】由f0=22可得φ=π4，由对称中心A

【解答过程】因为点B0,22在f(x)的图象上，所以f

因为f(x)图象的一个对称中心是Aπ8

则ω=2+8k，k∈Z.又0ω10，所以ω

f5π8=cos3π2

当x∈7π8,11π8

fx+π8

故选：B.

【例1.2】（2023上·黑龙江哈尔滨·高一校考期末）已知函数fx=cosπ2x，其中x表示不超过x的最大整数（例如：3.2=3

A．函数y=

B．fx的值域为

C．fx为周期函数且周期

D．fx与y

【解题思路】根据偶函数性质举例计算即可判断A选项，根据解析式求出值域即可判断B选项，根据周期函数定义即可判断C选项，计算求出y=log5x+1等于-1、0、

【解答过程】A选项：y=fx+1=cosπ2x+1=

B选项：x∈-1,0时，x

x∈0,1时，x=0

x∈1,2时，x=1

x∈2,3时，x=2

x∈3,4时，x=3

x=4时，x=4，fx=cos2π

C选项：f

所以fx的周期为T=4，

D选项：由于fx的值域为点集合-1,0,1，所以当x=4和当x=-65

故选：D.

【变式1.1】（2023·河北保定·统考二模）已知函数fx=cos

A．ω=1时，fx关于

B．ω=1时，fx

C．ω=2时，fx在

D．ω=2时，fx=1

【解题思路】分别求出函数f(

【解答过程】当ω=1时，f

此时T=2π1=2π，即

当x=2π3时，f(x)=

当ω=2时，f

当0≤x≤π3，0≤2x≤2

由f(x)=

则2x1+π3=2k

即2x1=2

即x1=k

则x1

则|x

则当k1-k2=0时，

故选：C．

【变式1.2】（2023下·安徽·高三校考阶段练习）已知函数f(x)=cos(ωx+φ)，其中ω0，0φ

A．fx关于(-π10,0)

C．ω一定是奇数 D．ω有两个不同的值

【解题思路】根据给定的条件，利用余弦型函数的性质、结合“五点法”作图逐一分析计算判断作答.

【解答过程】对于函数fx=cosωx+φ，由f-π

设T为fx的最小正周期，又f-π10=0

则25π--π10=

又由fx在-π5,π

也即0ω≤103，则

当ω=1时，因为fx≤

结合0φπ可得φ=3

当ω=3时，因为fx≤

结合0φπ可得φ=4

所以fx=cosx+3

故选：D.

【考点2余弦函数中的含参问题】

【例2.1】（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）若函数gx=cosωx+π3

A．0,89 B

C．0,23 D

【解题思路】由题意知T≥2×3π4-π4=

【解答过程】根据函数y=gx

得T=2π

又由π3

必有3π

可得0ω

故选：A.

【例2.2】（2023上·山东·高二校联考开学考试）已知函数fx=cosωx+π3

A．0,1 B．13,73 C．

【解题思路】首先求ωx+π3的范围，再结合