第13讲 椎体（5种题型）（解析版）_1_1.docx

第13讲椎体（5种题型）

【知识梳理】

1.棱锥

定义：一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体。

基本性质：如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么侧棱和高被这个平面分成比例线段；截面与底面都是相似多边形；截面面积与底面面积之比，等于顶点到截面与顶点到底面的距离平方之比。

注：棱锥的侧面积与底面积的射影公式：（侧面与底面成的二面角为）

2.正棱锥

定义：如果一个棱锥的底面是多边形，且顶点在诺面的射影是底面的中心，这个棱锥叫做正棱锥；

基本性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。

面积与体积：，。

注：（1）正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）

（2）正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等

（3）正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形.

3.圆锥：将直角三角形（及其内部）绕其一条直角边所在直线旋转一周，所形

成的几何体叫做圆锥；所在直线叫做圆锥的轴；点叫做圆锥的顶点；

直角边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；

斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；

斜边叫做圆锥侧面的一条母线；

圆锥的顶点到底面间的距离叫做圆锥的高．

【性质】根据圆锥的形成过程易知：

【性质】根据圆锥的形成过程易知：

圆锥有无穷多条母线，且所有母线相交于圆锥的顶点；

每条母线与轴的夹角都相等.

4．锥体的体积公式

棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积．

圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用πr2表示S，则．

综上，锥体的体积公式为．

5．圆锥的表面积

（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr，半径等于圆锥侧面的母线长为，由此可得它的侧面积是．

（2）圆锥的表面积：S圆锥表=πr2+πr．

【考点剖析】

题型一：棱锥

例1．设三棱锥S—ABC的底面为等腰直角三角形，已知该直角三角形的斜边AC长为10，三棱锥的侧棱SA=SB=SC=13，求：

(1)顶点S到底面的距离；

(2)侧棱SB与底面所有角的大小(用反三角函数表示)；

(3)二面角A—SB—C的大小(用反三角函数表示)；

【答案】如图(1)作SO⊥底面ABC，由已知SA=SB=SC知，O为底面△ABC的外心，

又△ABC为直角三角形，故O为斜边AC的中点.∴SO===12.

即顶点S到底面的距离是12.

(2)∠SOB是SB与底面ABC所成的角.∠COB=arcsin=arcsin

(3)作AD⊥SB于D，连结CD.∵SB⊥AD,SB⊥AC.∴SB⊥平面ADC

∴CD⊥SB,∠ADC是二面角A—SB—C的平面角，易得AB=BC=5，AD=DC=

∴∠ADC=arccos(-)，即二面角A—SB—C的大小是arccos(-).

【变式】一个正三棱锥与一个正四棱锥，它们的所有棱长都相等，把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上，这个组合体可能是 （ ）

A．正五棱锥 B．斜三棱柱 C．不规则几何体 D．正三棱柱

【答案】B

【解析】该棱锥一定不是正六棱锥.否则设正棱锥S—ABCDEF符合题设，则在△SAB和△OAB中(O为顶点S在底面的射影)，∵SA=SB=AB=OA=OB,∴△SAB≌△OAB

但△OAB是△SAB在底面的射影，不可能.

题型二：棱锥体积有关计算

例2.（2021·上海高二专题练习）已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为（）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由原图与直观图的面积比可求得该四棱锥的底面积，利用棱锥体积公式即可得解.

【详解】由题意结合原图与直观图的面积比为可知该四棱锥的底面积，

则该四棱锥的体积为.

故选：D.

【点睛】本题考查了原图与直观图之间的关系，考查了棱锥体积的计算，属于基础题.

【变式1】．（上海市金山中学高二月考）三棱锥中，有一个平行于底面的平面截得一个△截面，已知，则________

【答案】

【分析】根据面积比可求出两三棱锥的高之比，根据三棱锥体积公式可求得体积之比.

【详解】三棱锥与的高之比：

故答案为

【点睛】本题考查棱锥体积的相关计算，关键是能够利用面积比得到三棱锥的高之比，属于基础题.

【变式2】（2021·上海高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，是的中点.

（1）求三棱锥的体积；

（2）求异面