2024—2025学年上海市上海交通大学附属中学高二上学期9月摸底考试数学试卷.docVIP

2024—2025学年上海市上海交通大学附属中学高二上学期9月摸底考试数学试卷

一、填空题

(★★)1.已知，则__________.

(★★)2.设复数满足，则的虚部是_________．

(★★)3.已知向量，若，则实数__________.

(★★)4.焦点在轴上，焦距为，且经过点的椭圆的标准方程为__________.

(★)5.幂函数的图像经过点，则的值为______.

(★★)6.已知为任意实数，直线的倾斜角的范围是______.

(★★)7.不等式的解集为______.

(★★)8.已知，若对一切成立，则__________.

(★★)9.函数的对称中心是，则______.

(★★★)10.给出下列命题：

①“”是“”的充分非必要条件；

②“函数的最小正周期为”是“”的充要条件；

③“平面向量与的夹角是锐角”的充要条件是“”.

其中正确命题的序号是__________（把所有正确命题的序号都写上）

(★★★)11.在正方形所在平面上有点，使得都是等腰三角形.那么具有这样性质的点共有__________个

(★★★)12.已知，若数列为严格增数列，则实数的取值范围是__________.

二、单选题

(★★)13.若，且则下列不等式一定成立的是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)14.在中,若,且,则是

A．等边三角形

B．等腰三角形,但不是等边三角形

C．等腰直角三角形

D．直角三角形,但不是等腰三角形

(★★)15.若复数满足，则的最小值为（）

A．3

B．2

C．

D．1

(★★★★)16.已知，对关于的方程的实数解情况进行讨论，下面的结论中错误的是（）

A．至多有三个实根

B．至少有一个实根

C．当且仅当时有实根

D．存在，使原方程有三个实根

三、解答题

(★★★)17.已知且.

(1)求的值；

(2)求的大小.

(★★★)18.已知，集合，

(1)若，求的值；

(2)若，求的值.

(★★★)19.如图，在平面直角坐标系中，方程为的圆的内接四边形的对角线和互相垂直，且分别在轴负半轴和正半轴上，分别在轴负半轴和正半轴上.

(1)试用平面解析几何的方法证明：；

(2)设四边形的一条边的中点为，试用平面解析几何的方法证明：.

(★★)20.已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和；

(3)记，是否存在正整数，使得？若存在，求出所有符合条件的正整数；若不存在，请说明理由.

(★★★★)21.对定义在区间上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意的都有，则称函数为区间上的“函数”.

(1)判断：函数与是否是上的“函数”，其中，；

(2)对于（1）中的函数，若不等式对一切的恒成立，求实数的取值范围；

(3)若函数是区间上的“函数”，求实数和的值.

(★★★★)22.已知实数且，数列满足：，，试判断数列的单调性.