河北省重点高中2024届高三下学期5月模拟考试数学试题（二）（含答案解析）.docx

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河北省重点高中2024届高三下学期5月模拟考试数学试题（二）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（???）

A． B． C． D．

2．已知复数，则（????）

A． B． C． D．

3．已知圆的半径为2，弦的长为，若，则（????）

A．-4 B．-2 C．2 D．4

4．已知数列满足，若，则（????）

A．2 B． C． D．

5．已知函数的导函数，若函数有一极大值点为，则实数的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

6．已知实数，则下列选项可作为的充分条件的是（????）

A． B．

C． D．

7．已知四面体满足，则点到平面的距离为（????）

A． B． C． D．

8．在边长为4的正方体中，点是的中点，点是侧面内的动点（含四条边），且，则的轨迹长度为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．甲袋中有20个红球．10个白球，乙袋中红球、白球各有10个，两袋中的球除了颜色有差别外，再没有其他差别．现在从两袋中各换出1个球，下列结论正确的是（????）

A．2个球都是红球的概率为

B．2个球中恰有1个红球的概率为

C．不都是红球的概率为

D．都不是红球的概率为

10．如图所示，有一个棱长为4的正四面体容器，是的中点，是上的动点，则下列说法正确的是（????）

??

A．直线与所成的角为

B．的周长最小值为

C．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为

D．如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为

11．已知函数满足：①对任意，；②若，则.则（????）

A．的值为2 B．

C．若，则 D．若，则

三、填空题

12．设抛物线的焦点为，准线为.斜率为的直线经过焦点，交于点，交准线于点（，在轴的两侧），若，则抛物线的方程为.

13．关于双曲线C：，四位同学给出了四个说法：

小明：双曲线C的实轴长为8；

小红：双曲线C的焦点到渐近线的距离为3；

小强：双曲线C的离心率为；

小同：双曲线C上的点到焦点距离的最小值为1；

若这4位同学中只有1位同学的说法错误，则说法错误的是；双曲线C的方程为．（第一空的横线上填“小明”、“小红”、“小强”或“小同”）

14．设A，B，C，D为平面内四点，已知，，与的夹角为，M为AB的中点，，则的最大值为．

四、解答题

15．如图，已知多面体均垂直于平面．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

16．已知等差数列的前项和为，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)数列满足，令，求证：．

17．已知抛物线，直线垂直于轴，与交于两点，为坐标原点，过点且平行于轴的直线与直线交于点，记动点的轨迹为曲线．

(1)求曲线的方程；

(2)点在直线上运动，过点作曲线的两条切线，切点分别为，在平面内是否存在定点，使得？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．

18．现有甲、乙、丙三个工厂生产某种相同的产品进入市场，已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品能达到优秀等级的概率分别为，，，现有某质检部门，对该产品进行质量检测，首先从三个工厂中等可能地随机选择一个工厂，然后从该工厂生产的产品抽取一件进行检测.

(1)若该质检部门的一次抽检中，测得的结果是该件产品为优秀等级，求该件产品是从乙工厂抽取的概率；

(2)因为三个工厂的规模大小不同，假设三个工厂进入市场的产品的比例为2∶1∶1，若该质检部门从已经进入市场的产品中随机抽取10件产品进行检测，求能达到优秀等级的产品的件数的分布列及数学期望.

19．数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立．证明分为下面两个步骤：1．证明当（）时命题成立；2．假设（，且）时命题成立，推导出在时命题也成立．用模取余运算：表示“整数除以整数，所得余数为整数”．用带余除法可表示为：被除数＝除数×商＋余数，即，整数是商．如，则；再如，则．当时，则称整除．现从序号分别为，，，，…，的个人中选出一名幸运者，为了增加趣味性，特制定一个遴选规则：大家按序号围成一个圆环，然后依次报数，每报到（）时，此人退出圆环；直到最后剩1个人停止，此人即为幸运者，该幸运者的序号下标记为．如表示当只有1个人时幸运者就是；表示当有6个人而时幸运者是；表示当有6个人而时幸运者是．

(1)求；

(2)当时，，求；当时，解释上述递推关系式的实际意义；

(3)由（2