第二章 一元二次函数、方程和不等式单元复习提升（3大易错与3大拓展）（解析版）-2023-2024学年学年高一数学上学期单元精讲·速记·巧练（人教A版2019必修第一册）_1_1.docx

第二章一元二次函数、方程和不等式

（易错与拓展）

易错点1忽视基本不等式使用条件“一正,二定,三相等”中的“一正”致错

【指点迷津】在用基本不等式计算最值时，很多同学因忽略了题干条件中变量范围为负（或不全为正）的情况，从而导致求解错误，所以大家在用基本不等式求最值时一定要注意适用条件中的“一正”.

典例1.1当时，函数（????）

A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值4 D．有最小值4

【答案】A

【分析】利用基本不等式可直接得到函数的最值.

【详解】，，

，当且仅当时等号成立，

故选：A

典例1.2设实数满足，则函数的最大值是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将函数解析式拼凑变形后使用基本不等式求最大值.

【详解】因为，所以，

所以

当且仅当时，等号成立，

故选：D.

跟踪训练1.1若，则有（????）

A．最小值为3 B．最大值为3

C．最小值为 D．最大值为

【答案】D

【分析】凑项，利用基本不等式可得最值．

【详解】，.

，

当且仅当时取等号，明显无最小值.

故选：D.

跟踪训练1.2已知，则的最小值为（????）

A． B．4

C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用配凑的方法，结合均值不等式求解作答.

【详解】因为，则，，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为.

故选：D

易错点2解一元二次不等式中忽视二次项系数为负致错

【指点迷津】在解一元二次不等式时，同学们经常会用“大于取两边，小于取中间”的结论来解题，而忽略了使用结论的前提条件是二次项系数为正，因而解题错误。正确的解题思路是先观察二次项系数是否为正，为正（画图象或用结论解题即可），不为正，则需先把二次项系数化为正，再画图象或用结论解题即可.

典例2.1不等式的解集为（????）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【分析】根据一元二次不等式的解法求得正确答案.

【详解】不等式，即，

即，解得或，

所以不等式的解集为或.

故选：C

典例2.2不等式的解集是（????）

A． B．

C．或 D．

【答案】D

【分析】将不等式化为再解一元二次不等式可得答案.

【详解】将不等式化为，由于对应方程的判别式，

所以不等式的解集为.

故选：D.

跟踪训练2.1不等式的解集是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由一元二次不等式的解法求解即可.

【详解】不等式可化为，即，解得，

故原不等式的解集为.

故选：D.

跟踪训练2.2等式的解集为（????）

A． B． C．或 D．

【答案】D

【分析】直接解不含参一元二次不等式即可.

【详解】因为或，则图象如图所示，

所以解集为.

故选：D.

易错点3解分式不等式时直接把分母乘到不等式右边致错

【指点迷津】在解分式不等式中，有同学会忽略分母符号直接把分母乘到不等式的右边而导致解题错误，正确的解题思路是先把不等式右侧常数移到左侧，再通分，最后把分式不等式等价为整式不等式解题即可，同时也要同步观察二次项系数是否为正，进而转化成易错点2进行后续求解。具体分式不等式等价整式不等式如下：

①②

③④

典例3.1解不等式的解集

解：由可得，解得，

故原不等式的解集为.

典例3.1解不等式的解集

，

或

解得，

即不等式的解集为；

跟踪训练3.1解不等式的解集

由，可得，

所以，解得，

所以原不等式的解集为；

跟踪训练3.2解不等式的解集

解：由可得，解得，

故原不等式的解集为.

拓展1糖水不等式

结论：若,则有

(1);

(2);

(3);

(4)若,则.

典例1.1（1）已知b克糖水中含有a克糖，再添加m克糖(假设全部溶解)，糖水变甜了.我们将这一事实表示为不等式：当时，有，请证明这个不等式；

（2）设△ABC的三边长分别为，请利用第（1）问已证不等式证明：.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）根据作差法比较大小即可；

（2）根据三角形两边之和大于第三边，再结合（1）中不等式放缩即可证明.

【详解】（1）证明：.

.，

.

（2）设的三边长分别为，则有，

由（1）已证不等式可得：，，，

将以上不等式左右两边分别相加得：，

所以，

典例1.2（多选）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖，（，，且），若再添加c克糖后，（假设全部溶于水），糖水会更甜，于是得出一个不等式：，称之为“糖水不等式”，则下列命题一定正确的是（????）

A．若，，则与大小关系不随m的变化而变化

B．若，，则

C．若，，则

D．若，，则

【答案】ACD

【分析】根据“糖水不等式”，即可判断A；作差比较即可判断B；若，则，再根据“糖水不等式”即可判断C；利用不等式的性质即可判断D.

【