第17讲 数学归纳法【秋季讲义】（人教A版2019选择性必修第二册）（原卷版）_1_1.docx

第17讲数学归纳法

【人教A版2019】

·模块一数学归纳法

·模块二课后作业

模块一

模块一

数学归纳法

1．数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值()时命题成立；

第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥,k)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立.

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立.

上述证明方法称为数学归纳法.

2．数学归纳法的重要结论及适用范围

数学归纳法的重要结论

适用范围

只适用于证明与正整数有关的数学命题

【考点1数学归纳法的证明步骤】

【例1.1】（2023春·陕西西安·高二校考期中）用数学归纳法证明“1n+1+1n+2+1

A．13k+4

C．13k+2+

【例1.2】（2023春·上海·高二期中）用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn+yn能被

A．假设n=2k+1(

B．假设n=2k-

C．假设n=k(

D．假设n=k(

【变式1.1】（2023·全国·高三对口高考）已知f(n)=1+12+13+?+

A．2k-1 B．2k C．

【变式1.2】（2023·全国·高三专题练习）我们学习了数学归纳法的相关知识，知道数学归纳法可以用来证明与正整数n相关的命题.下列三个证明方法中，可以证明某个命题pn对一切正整数n都成立的是（????

①p1成立，且对任意正整数k，“当1≤i≤k时，pi均成立”

②p1，p2均成立，且对任意正整数k，“pk成立”可以推出“

③p2成立，且对任意正整数k≥2，“pk成立”可以推出“p2

A．②③ B．①③ C．①② D．①②③

【考点2用数学归纳法证明恒等式】

【例2.1】（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：

(1)1+3+5+?+2

(2)1×4+2×7+3×10+?+n

【例2.2】（2023秋·高二课时练习）用数学归纳法证明1?n+2?n

【变式2.1】（2023·高二校考课时练习）观察下面等式：1=1

【变式2.2】（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：

（1）1+3+5+…+2

（2）1+2+2

（3）13

【考点3用数学归纳法证明不等式】

【例3.1】（2023·全国·高三专题练习）证明∶不等式32×

【例3.2】（2023春·高二课时练习）证明：对于一切自然数n≥1都有2

【变式3.1】（2022·高二课时练习）试用数学归纳法证明12

【变式3.2】（2023秋·高二课时练习）设an=1+12+13+?+

【考点4用数学归纳法证明几何问题】

【例4.1】（2022·高二课时练习）平面内有n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明这n个圆把平面分成了n2

【例4.2】（2023·高二课时练习）试证明对任何自然数n?6，每一个正方形都可分成n

【变式4.1】（2023·全国·高二随堂练习）已知n≥2，且平面内有n条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，证明这些直线的交点的个数为f

【变式4.2】（2023·高二课时练习）如图，类似于中国结的一种刺绣图案，这些图案由小正方形构成，其数目越多，图案越美丽，若按照前4个图中小正方形的摆放规律，设第n个图案所包含的小正方形个数记为f(

（1）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n+1)与f

（2）计算：1f(1)+1f

猜想1f(1)+

【考点5用数学归纳法证明整除问题】

【例5.1】（2023秋·高二课时练习）用数学归纳法证明：n3+n+13

【例5.2】（2023·全国·高二随堂练习）设n∈N*，用数学归纳法证明：f

【变式5.1】（2023·全国·高二随堂练习）求证：对任意正整数n，x2n-

【变式5.2】（2023·全国·高三对口高考）是否存在正整数m使得fn=2n+7?3

【考点6用归纳法解决与递推公式有关的数列问题】

【例6.1】（2023春·辽宁沈阳·高二校考阶段练习）已知正项数列an的前n项和为Sn，

(1)计算a1，a2，a3，a

(2)用数学归纳法证明你的结论．

【例6.2】（2023春·北京房山·高二统考期末）已知数列an的通项公式为an=1n

(1)计算S1，S2，S3

(2)根据计算结果，猜想Sn

【变式6.1】（2023春·山西太原·高二校考阶段练习）下题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？把错误的地方改正确．用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式是Sn=

证明，①当n=1时，左边=S1=

②假设当n=k(k∈

Sk

Sk

上面两式相加并除以2，可得Sk

即当n=

由①②可知，等差数列的前n项和公式是S

【变式6.2】（2023秋·江苏南京·高三校考期末）已知数列a