第八章 平面向量（6大易错与4大拓展）（解析版）_1_1.docx

第八章平面向量（易错与拓展）

易错点1：零向量

【例1】下列命题中，正确的是（????）

A．若，则与方向相同或相反

B．若，，则

C．若，，则

D．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等

【答案】C

【详解】对于A选项，因为，若，则零向量的方向任意，A错；

对于B选项，取，则，，但、不一定平行，B错；

对于C选项，，，则，C对；

对于D选项，若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或相反，D错.

故选：C.

针对训练1.1下列说法正确的为（????）

A．共线的两个单位向量相等

B．若，，则

C．若，则一定有直线

D．若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上

【答案】D

【详解】选项A：共线的两个单位向量的方向可能相反，故A错误；

选项B：，不一定有，故B错误；

选项C：直线与可能重合，故C错误；

选项D：若向量，共线，则与可能平行，此时A，B，C，D四点不共线，故D正确.

故选：D

针对训练1.2下列说法错误的是（????）

A．若，，则

B．若，，则

C．若与是非零向量且，则与的方向相同或者相反

D．若，都是单位向量，则

【答案】A

【详解】A.若，满足，，但是不满足，所以该选项错误；

B.若，，则，所以该选项正确；

C.若与是非零向量且，则与的方向相同或者相反，所以该选项正确；

D.若，都是单位向量，则，所以该选项正确.

故选：A

易错点2：忽视向量的方向

【例2】在下列结论中，正确的为

A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同

B．向量与向量的长度相等

C．向量就是有向线段

D．零向量是没有方向的

【答案】B

【分析】逐一分析选项，得到答案.

【详解】A.单位向量的方向任意，所以当起点相同时，终点在以起点为圆心的单位圆上，终点不一定相同，所以选项不正确；

B.向量与向量是相反向量，方向相反，长度相等，所以选项正确；

C.向量是既有大小，又有方向的向量，可以用有向线段表示，但不能说向量就是有向线段，所以选项不正确；

D.规定零向量的方向任意，而不是没有方向，所以选项不正确.

故选B.

针对训练2.1下列说法正确的是（???）

A．若，则与的长度相等且方向相同或相反；

B．若，且与的方向相同，则

C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上；

D．若，则与方向相同或相反

【答案】B

【分析】对于A，利用向量的模的定义即可判断；对于B，利用向量相等的定义判断即可；对于C，考虑向量的起点位置判断即可；对于D，考虑特殊向量即可判断.

【详解】对于A，由只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系，故A错误；

对于B，因为，且与同向，由两向量相等的条件，可得=，故B正确；

对于C，只有平面上所有单位向量的起点移到同一个点时，其终点才会在同一个圆上，故C错误；

对于D，依据规定：与任意向量平行，故当时，与的方向不一定相同或相反，故D错误.

故选：B.

针对训练2.2下列说法正确的是（???）

A．向量的模是一个正实数

B．若与不共线，则与都是非零向量

C．共线的单位向量必相等

D．两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同

【答案】B

【详解】向量的模是一个非负实数，如零向量的模是0，A错误；

零向量与任意向量共线，若与不共线，则与都是非零向量，B正确；

共线的单位向量方向可能相同，也可能相反，C错误；

两个向量相等的条件是长度相等、方向相同，与起点无关，D错误．

故选：B

易错点3：向量夹角忘记共起点找夹角

【例3．1】在锐角中，关于向量夹角的说法，正确的是（????）

A．与的夹角是锐角

B．与的夹角是锐角

C．与的夹角是钝角

D．与的夹角是锐角

【答案】B

【分析】利用向量夹角的定义逐一判断即可.

【详解】为锐角三角形，

A，与的夹角是钝角，A错误；

B，与的夹角是锐角，B正确；

C，与的夹角是锐角，C错误；

D，与的夹角是钝角，D错误.

故选：B

【例3.2】在等边三角形中，与的夹角为；点为的中点，则与的夹角为．

【答案】//

【详解】在等边三角形中，所以与的夹角为，

??

因为点为的中点，所以，所以与的夹角为.

故答案为：；

针对训练3.1已知三角形中，，则三角形的形状为_________三角形（????）

A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰直角

【答案】C

【详解】因为，故，故，

而，故，故三角形为钝角三角形，

故选：C.

针对训练3.2在等边三角形ABC中，向量与的夹角为．

【答案】

【详解】在等边三角形ABC中，，

所以向量与的夹角.

故答案为：.

易错点4：忽视向量数量积不满足结合律

【例4】（多选）设是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】根据数量积的定义与