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列方程解应用题

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知识定位

有些数量关系比较复杂的应用题,用算术方法求解比较困难。此时,如果能恰当地假设一个未知量为x（或其它字母）,并能用两种方式表示同一个量,其中至少有一种方式含有未知数x,那么就得到一个含有未知数x的等式,即方程。利用列方程求解应用题,数量关系清晰、解法简洁,应当熟练掌握。

方程作为一种数学工具对于解题有相当大的帮助,并且在代数学中乃至整个数学中有重要的意义。

列方程与方程组解应用题关键注意以下几点：

1、设未知数的主要技巧和手段：把与其他数量关系紧密的关键量设为“x”.

2、用代数法来表示各个量：利用“x”表示出所有未知量或变量.

3、找准等量关系,构建方程：明显的等量关系与隐含的等量关系的寻找

知识梳理

1、列一元一次方程解应用题

方程是代数学最基本的模型,而一元一次方程是方程中最简单的种类.

解一元一次方程的步骤：

（1）、去分母（2）、去括号（3）、移项（4）、合并同类项（5）、系数化1

2、二元一次方程组

列方程组解应用题的主要步骤与列方程解应用题基本没有区别,由于可以多设未知数,所以通过列方程组解应用题可以有更多的选择,但解方程组的过程更需要一些技巧方法,其中最关键的步骤是消元,“消元”顾名思义减少方程组中未知数的个数,解方程组的消元方法主要有①代入消元法.②加减消元法.

加减消元法：将方程组中的某个未知数的系数调整为相等,将方程组中方程的相减达到消元目的.

代入消元法：利用方程组中的某条方程得到某项未知数的代数表达式,然后将它代入方程组中的其他方程达到消元目的.

消元后,把方程转化成一元一次方程求解。

3、重点难点解析

重点：列方程及方程组解应用题的主要步骤：

（1）仔细审题找出题目中涉及到的各个量中的关键量,这个量最好能和题目中的其他量有着紧密的数量关系.

（2）设这个量为x,用含x的代数式来表示题目中的其他量.

（3）找到题目中的等量关系,建立方程.

（4）解方程.

（5）通过求到的关键量求得题目答案.

难点：

（1）恰当的假设未知数

（2）从已知条件中寻找等量关系,列出方程或方程组并求解。

4、竞赛考点挖掘

（1）找关键量设为未知数

（2）联系其他知识点,寻找等量关系构建方程

例题精讲

【试题来源】

【题目】

已知足球、篮球、排球三种球平均每个35元.篮球比排球每个贵10元,足球比排球每个贵8元.问：每个篮球多少元？

【答案】29

【解析】

找等量关系,足球+篮球+排球等于平均价格乘以3

设每个排球x元,则每个篮球为x+10元,每个足球x+8元,由已知列方程：

x+x+8+x+10=35×3,

解得x=29.

所以每个篮球x+10=29+10=39元。

【知识点】列方程解应用题

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】

有一些糖,每人分5块多10块；如果现有的人数增加到原人数的1.5倍,那么每人4块就少2块.问这些糖共有多少块?

【答案】70

【解析】

这道题属于盈亏问题,盈亏问题用方程解决很容易。

等量关系为两种分法的糖总数不变

设开始共有x人,

5x+10=4×1.5x-2,

解得x=12,

所以这些糖共有12×5+10=70块．

【知识点】列方程解应用题

【适用场合】当堂例题

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】

甲、乙、丙、丁四人今年分别是16、12、11、9岁。问：多少年前,甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍？

【答案】6年前

【解析】

这是一道年龄问题,也可以用方程来解决。等量关系为：多少年前,甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍。关键：在相同的时间内,每个人增加或减少的年龄是相同的。

设x年前,甲乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍.

16+12-2x=2×(11+9-2x),

解得x=6.

所以,6年前,甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍.

【知识点】列方程解应用题

【适用场合】当堂例题

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】

有一队伍以1.4米/秒的速度行军,末尾有一通讯员因事要通知排头,于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾,共用了10分50秒。问：队伍有多长？

【答案】600

【解析】

这是一道“追及又相遇”的行程问题,通讯员从末尾到排头是追及问题,他与排头所行路程差为队伍长；通讯员从排头返回排尾是相遇问题,他与排尾所行路程和为队伍长。如果设通讯员从末尾到排头用了x秒,那么通讯员从排头返回排尾用了（650-x）秒,于是不难列方程。

解：设通讯员从末尾赶到排头用了x秒,依题意得

2.6x-1.4x=2.6（650-x）+1.4（650-x）。

解得x＝500。

所以队伍长为（2.6-1.4）×500=600（米）。

【知识点】列方程解应用题

【适用场合】当堂例题

【难度