小学奥数专题 等差数列的认识与计算初步.docx

学科培优数学

等差数列的认识与计算初步

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知识定位

本讲知识点属于计算板块的部分,难度较三年级学到的该内容稍大,最突出一点就是把公式用字母表示。要求学生熟记等差数列三个公式,并在公式中找出对应的各个量进行计算。

重点难点：1找出题目中首项、末项、公差、项数。

2．熟练运用各项公式进行计算。

考点：1.找到数列规律。

2.适当运用中间项定理。

知识梳理

一、等差数列的定义：

类似l,2,3,4,5,6,7,8,9,…或者20,18,16,14,12,10,8.…这样的数列叫做等差数列。

通常,我们把数列的第1项记为a1,第2项记为a2,…,第n项记为an,an又称为数列的通项,a1又称为数列的首项,最后一项又称为数列的末项,这个数列的和叫做Sn。

二、等差数列的相关公式：

对于公差为d的等差数列a1,a2,…an来说,

通项an=a1+（n-1）×d（若a1小于an）

通项an=a1-（n-1）×d（若a1大于an）

项数公式：项数n＝（an－a1）÷d＋1（若a1小于an）

项数公式：项数n＝（a1－an）÷d＋1（若a1大于an）

求和公式：总和Sn＝（a1＋an）×n÷2

中项定理：对于任何一个项数为奇数的等差数列,中间一项的值等于所有项的平均数,也等于首项和末项的一半；换句话说,各项和等于中间项乘以项数。（偶数项的等差数列也可进行类似参考）

例题精讲

【试题来源】

【题目】下面的数列中,哪些是等差数列？若是,请指明公差,若不是,则说明理由。

①6,10,14,18,22,…,98；

②1,2,1,2,3,4,5,6；

③1,2,4,8,16,32,64；

④9,8,7,6,5,4,3,2；

⑤3,3,3,3,3,3,3,3；

⑥1,0,1,0,l,0,1,0；

【答案】

①是,公差d=4.

②不是,因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.

③不是,因为4-2≠2-1.

④是,公差d=l.

⑤是,公差d=0.

⑥不是,因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项。

【解析】

①是,公差d=4.

②不是,因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.

③不是,因为4-2≠2-1.

④是,公差d=l.

⑤是,公差d=0.

⑥不是,因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项。

【知识点】等差数列的认识与计算初步

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】求等差数列1,6,11,16…的第20项。

【答案】96

【解析】

首项a1=1,又因为a2；大于a1；,

公差d=6-1=5,所以运用公式（1）可知：

第20项a20=a1=（20-1）×5=1+19×5=96.

【知识点】等差数列的认识与计算初步

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】已知等差数列2,5,8,11,14…,问47是其中第几项？

【答案】16

【解析】

首项a1=2,公差d=5-2=3

令an=47

则利用项数公式可得：

n=（47-2）÷3+1=16.

即47是第16项。

【知识点】等差数列的认识与计算初步

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】如果一等差数列的第4项为21,第6项为33,求它的第8项。

【答案】45

【解析】

方法1：

要求第8项,必须知道首项和公差.

因为a4=a1+3×d,又a4=21,所以a1=21-3×d又a6=a1+5×d,又a6=33,所以a1=33-5×d所以：21-3×d=33-5×d,

所以d=6a1=21-3×d=3,

所以a8=3+7×6=45.

方法2：

考虑到a8=a7+d=a6+d+d=a6+2×d,其中a6已知,只要求2×d即可.

又a6=a5+d=a4+d+d=a4+2×d,

所以2×d=a6-a4

所以a8=3+7×6=45

方法2说明：如果能够灵活运用等差数列各项间的关系,解题将更为简便。

【知识点】等差数列的认识与计算初步

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】建筑工地有一批砖,码成如右图形状,最上层两块砖,第2层6块砖,第3层10块砖…,依次每层都比其上面一层多4块砖,已知最下层2106块砖,问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？

【答案】1054,555458

【解析】

如果我们把每层砖的块数依次记下来,2,6,10,14,…容易知道,这是一个等差数列.

方法1：

a1=2,d=4,an=2106,

n=（an-a1）÷d+1=527

这堆砖共有则中间一项为a264=a1+（264-1）×4=1054.

方法2：（a1+an）×n÷2=（2+2106）×527÷2=555458（块）.

则中间一项为（a1+an