北师版高中数学必修第二册课后习题第2章 §5 5.2 向量数量积的坐标表示--5.3 利用数量积计算长度与角度.docVIP

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5.2向量数量积的坐标表示

5.3利用数量积计算长度与角度

课后训练巩固提升

1.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(5,2),C(-1,-4),则该三角形为().

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.等腰直角三角形

2.(多选题)已知向量a=(1,3),b=(-1,0),则().

A.a-2b=(2,3)

B.|a|=2|b|

C.(a+b)⊥b

D.a与b的夹角为π

3.已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),在x轴上有一点P,使AP·

A.(-3,0) B.(2,0)

C.(3,0) D.(4,0)

4.已知向量a=(1,2),b=(4,λ),若a⊥b,则向量2a+b与a的夹角θ等于().

A.π4 B.π

C.2π3 D.

5.已知AB=(-3,-2),AC=(m,1),|BC|=3,则BA·

A.7 B.-7

C.15 D.-15

6.设x,y∈R,向量a=(x,2),b=(3,y),c=(1,-1),且a⊥c,b∥c,则|a+b|等于().

A.5 B.4

C.26 D.25

7.已知函数y=tan(π4x-π2)的部分图象如图所示,则(OA+

A.1 B.4

C.6 D.7

8.设a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影数量为.?

9.已知a=(2,1)与b=(1,2),要使|a+tb|最小,则实数t的值为.?

10.已知平面向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=2,|b|=3,a·b=-6,则向量a与b的夹角为,x1+y

11.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).

(1)求证:AB⊥AD;

(2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标以及矩形ABCD的两对角线所成的锐角的余弦值.

12.设平面内三点A(1,0),B(0,1),C(2,5).

(1)试求向量2AB+

(2)若向量AB与

(3)求向量AB在

答案：

1.B∵AB=(2,-2),AC=(-4,-8),BC=(-6,-6),

∴|AB|=22+(-2)2=22,|AC|=16+64=45,|

∴|AB|2+|BC|2=|AC|2,∴△ABC为直角三角形,但不是等腰直角三角形.

2.BC对于A,a-2b=(1,3)-2(-1,0)=(3,3),A错;对于B,|a|=2,|b|=1,则|a|=2|b|,B对;

对于C,a·b=-1,故(a+b)·b=a·b+b2=-1+1=0,所以,(a+b)⊥b,C对;

对于D,cosa,b=a·b|a||

3.C设P(x,0),则AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1),AP·BP=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,故当x=3时,

4.A因为向量a=(1,2),b=(4,λ),a⊥b,所以1×4+2λ=0,解得λ=-2.

所以b=(4,-2),2a+b=(6,2),

所以设向量2a+b与a的夹角θ,则cosθ=(2a+b

又因为θ∈[0,π],所以θ=π4

5.B因为AB=(-3,-2),AC=(m,1),所以BC=

即|BC|=(m+3)2+9=3?m=-3,所以BA=(3,2),

6.C因为a⊥c,b∥c,所以x-2=0,

7.C令y=tanπ4x-π2=0,且A是第一个零点,则A(2,0);令y=tanπ

则(OA+OB)·

8.655a在b方向上的投影数量为a

9.-45∵

∴|a+tb|=(t+2

∴当t=-45时,|a+tb|有最小值3

10.180°-23

则a·b=|a||b|cosθ=6cosθ=-6,

故cosθ=-1,又0°≤θ≤180°,∴θ=180°,

即a,b共线且反向,∴a=-23

∴x1=-23x2,y1=-23y2,∴x1

11.(1)证明∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),

∴AB=(1,1),AD=(-3,3).

又AB·

∴AB⊥AD,即AB

(2)解∵AB⊥AD,四边形ABCD为矩形,∴

设点C坐标为(x,y),则DC=(x+1,y-4),

∴x+1=1,y-4=1

∴AC=(-2,4).又BD=(-4,2),

∴AC·BD=8+8=160,|AC|=25,|BD|=2

设AC与BD的夹角为θ,则cosθ=

∴矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为45

12.解(1)∵A(1,0),B(0,1),C(2,5),

∴AB=(0,1)-(1,0)=(-1,1),AC=(2,5)-(1,0)=(1,5),∴|2AB+AC|=(-1

(2)由(1)知,AB=(-1,1),AC=(1,5),故cosθ=AB·

(3)由