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微积分总复习题及答案

化为

悉分部积分公式以后，没有必要明确的引入符号u,v,而可以像下

面那样先凑微分,接用分部积分公式计算：

xdcosx(xcosxcosxdx)xcosxsinxC

第五章一元函数积分学例1:求不定积分sin3xdx解：被积函数

sin3x是一个复合函数，它是由f(u)sinu和u(x)3x复合而成，因一

1此，为了利用第一换兀积分公式，我们将sin3x变形为sin3x

sin3x(3x),1sin3xd(3x)3xu(cosu)C3故有11

sin3xdxsin3x(3x)dx-331cCcos3xC3u3x

例2：求不定积分.a2x2dx(a0)解：为了消去根式，利用三解

恒等式sin21

2

cost1，可令xasint(—

t-)，则

_22

~222T

丄

ax.aasintacost，dx

acosdt，因此，由第二换元积分

法,

所以积分

由于x

出cost

x2dx

acostacostdta2cos2tdt

do^dt

2

dt22

aacos2td(2t)t

4

2

2

asin2tC4

2

a(tsintcost)C

2

asint(邻边斜边

例3:求不定积分

x

2)，所以sint—,t

arcsin(x/a)，利用直角三角形直接写xsinxdx

分析：如果被积函数f(x)xsinX中没有可以考虑用分部积分求此

不定积分，如果令x2dx

a1~2

2

arcsin(x/a)x、.ax

2

2

x或sinx,那么这个积分很容易计算出来,u=x，那么利用分部积

分公式就可以消去

所以x(因

为u1)

解令ux,dvsinxdx，贝Ududx，vcosx.

是xsinxdxudvuvvdux(cosx)(cosx)dxxcosxsinxC。熟

然后直xsinxdx

(1)换元必换限，上限对上限，下限对下限，即如果用

x(t)把原来的变量换成了新

例7：求定积分

因为

仍然是常数,2

把它记做

c,故原方程的通解为

小

2x

yCe

-其中C为任意常数

2

例5:求微分方程凹

dx2

yx2的通解x

解：这是一个一阶线性非齐次方程，通解公式为p(x)dx

(

p(x)dx

Q(x)edxC)

在本题中P(x)

2

,Q(x)x2，由通解公式知xp(x)dx

ye(

Q(x)e

p(x)dx

dxC)

-dx

ex(

2-dx2ex

dx

C)

2lnx/

22lnx

e(xe

dxC)

4

xdxC)

C)

即原方程的通解为:

C

~2

x

1

例6:求定积分

x2dx

分析：设函数f(x)在区间［a,b］上连续，

F(x)是在［a,b］上的一个原函数，则

x2

dx

x3

f(x)dx0

f(x)dxof(x)dx

若上述极限存在,解因为

则称相应的反常积分