28.1锐角三角函数(讲+练)【10大题型】(原卷版+解析).docxVIP

28.1锐角三角函数

锐角三角函数的概念

如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．

锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；

锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；

锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即.

同理；；．

注意：

(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．

(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．

(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．

(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°∠A90°间变化时，，，tanA＞0．

题型1：锐角三角函数的相关概念

1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，下列三角函数表示正确的是（）

A．sinA=45 B．cosA=45

【变式1-1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则∠A的正弦值为（）

A．512 B．1213 C．125

【变式1-2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，BC＝3，那么∠A的正切值为（）

A．34 B．43 C．35

题型2：求锐角函数值

2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，求sinA，cosA，tanA．

【变式2-1】已知，如图Rt△ABC中，AB=8，BC=6，求sin∠A和tan∠A．

【变式2-2】在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，AB=15，AC=9，分别求出sinA和tanB的值．

题型3：构造直角三角形求锐角函数值

3.如图，在△ABC中，AB=8，BC=6，S△ABC=12．试求tan∠B的值．

【变式3-1】如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，则tan∠ACB的值为.

【变式3-2】如图，锐角△ABC中，AB=10cm，BC=9cm，△ABC的面积为27cm2．求tanB的值．

特殊角的三角函数值

利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：

锐角

30°

45°

1

60°

注意：

(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．

(2)仔细研究表中数值的规律会发现：

、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：

①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；

②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．

题型4：特殊角的三角函数值的计算

4.计算：

（1）sin45

（2）cos60

（3）sin60

【变式4-1】计算：∣?8

2

3·sin60°－2·cos45°＋38－1

【变式4-2】先化简，再求值：a?ba+2b

锐角三角函数之间的关系

如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．

(1)互余关系：，；

(2)平方关系：；

(3)倒数关系：或；

(4)商数关系：．

注意：

锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．

题型5：锐角三角函数之间的关系

5.已知α为一锐角，sinα=45，求cosα，tanα．

【变式5-1】已知tanα=25

【变式5-2】在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=35

【变式5-3】已知α+β=90°，且sinα+cosβ=3，求锐角α．

题型6：锐角三角函数与圆综合

6.如图，AB是圆O的直径，PB，PC是圆O的两条切线，切点分别为B，C．延长BA，PC相交于点D．

（1）求证：∠CPB=2∠ABC．

（2）设圆O的半径为2，sin∠PBC=23

【变式6-1】如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连接BC交⊙O于点D，点E是BD的中点，连接AE交BC于点F．

（1）求证：AC=CF；

（2）若AB=