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§5从力的做功到向量的数量积
5.1向量的数量积
课后训练巩固提升
1.已知|b|=3,a在b方向上的投影数量是32
A.92 B.3
C.2 D.1
2.(多选题)设向量a,b满足|a|=|b|=1,且|b-2a|=5,则以下结论正确的是().
A.a⊥b
B.|a+b|=2
C.|a-b|=2
D.向量a,b的夹角为60°
3.已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则().
A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1
C.λμ=1 D.λμ=-1
4.已知平面向量a,b满足|a|=3,|b|=2,a·b=-3,则|a+2b|=().
A.1 B.7
C.4+3 D.27
5.已知向量a,b均为非零向量,(a-2b)⊥a,|a|=|b|,则a,b的夹角为().
A.π6 B.π
C.2π3 D.
6.已知边长为1的菱形ABCD,∠BAD=60°,点E满足BE=EC,则AE·
A.-13 B.-
C.-14 D.-
7.设单位向量e1,e2的夹角为2π3,a=e1+2e2,b=2e1-3e2
A.-332 B.-
C.3 D.3
8.已知单位向量e1,e2的夹角为α,且cosα=13,若向量a=3e1-2e2,则|a|=
9.已知|a|=3,|b|=4,且(a-2b)·(2a+b)≥4,则a与b的夹角θ的取值范围是.?
10.在△ABC中,AB=AC=2,BC=23,点D满足DC=2BD,则AD·DC的值为
11.设向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.
12.如图,在?ABCD中,AB=a,AD=b,CE=
(1)用a,b表示EF;
(2)若|a|=1,|b|=4,∠DAB=60°,分别求|EF|和AC·
13.已知平面向量a,b满足|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.
(1)求a与b的夹角θ;
(2)求向量a在向量3a+2b上的投影数量.
14.已知a+b+c=0,|a|=3,|b|=5,|c|=7.是否存在实数μ,使μa+b与a-2b垂直?
答案:
1.A∵|a|cosa,b=32
∴a·b=|a|·|b|cosa,b=3×32
2.AC|b-2a|2=|b|2+4|a|2-4a·b=5,又因为|a|=|b|=1,所以a·b=0,所以a⊥b,所以A正确,D不正确;|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=2,故|a+b|=2,所以B不正确,同理C正确.
3.D方法一:由题意得,a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ).
∵(a+λb)⊥(a+μb),∴(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,解得λμ=-1.故选D.
方法二:由题意得,a2=12+12=2,b2=12+(-1)2=2,a·b=1×1+1×(-1)=0.∵(a+λb)⊥(a+μb),
∴(a+λb)·(a+μb)=a2+(λ+μ)a·b+λμb2=2+0+2λμ=0.解得λμ=-1.故选D.
4.B根据题意,得|a+2b|=a2
5.B设a,b的夹角为θ,∵(a-2b)⊥a,且|a|=|b|,
∴a·(a-2b)=a2-2a·b=|a|2-2|a|2cosθ=0,
解得cosθ=12
∵0≤θ≤π,∴θ=π3.因此,a,b的夹角为π
6.C因为AE=
所以AE·BD=(AB+1
=12AB·AD+12AD2
7.A依题意得e1·e2=1×1×cos2π3=-1
|a|=(e1+2e2)2=e12+4e22+4e1·
因此b在a方向上的投影数量为a·b|
8.3∵|a|2=(3e1-2e2)·(3e1-2e2)=9e12-12e1·e2+4e22=9-12×1×1×
9.[2π3,π]∵(a-2b)·(2a+b)=2a2+a·b-4a·b-2b2=2×9-3|a||b|cosθ-2×16=-14-3×3×4cosθ≥4,∴cosθ≤-12,∴θ∈[2π3
10.-43
AB=AC=2,BC=23,通过作BC边上的高并解直角三角形可得∠BAC=2π3.根据题意可得,AD·DC=(23AB+13AC)·23(AC-AB
11.解由题意,∵e12=4,e22=1,e
∴(2te1+7e2)·(e1+te2)=2te12+(2t2+7)e1·e2+7te22=2t2+15t+7,∴2t
∵当2te1+7e2与e1+te2共线时,
设2te1+7e2=λ(e1+te2)(λ0)?2t=λ,7=tλ?2t2=7?t=-142
∴当t=-142时,2te1+7e2与e1
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