2023年南京一中高二上数学期末试卷和参考答案.docx

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2022-2023学年南京市第一中学高二上学期期末考试

一.选择题（共8小题）

1.椭圆的短轴的长是（）

A.3 B.4 C.6 D.8

2.过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段中点的横坐标为3，则等于（）

A.2 B.4 C.6 D.8

3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则（）

A.8 B.7 C.6 D.4

4.若曲线在处的切线垂直于直线，则（）

A2 B.1 C.4 D.3

5.我国古代数学著作《张丘建算经》记载如下问题：“今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？”意思是：“某人赠与若干人钱，第一人赠与3钱，第二人赠与4钱，第三人赠与5钱，继续依次递增1钱赠与其他人，若将所赠钱数加起来再平均分配，则每人得100钱，问一共赠钱给多少人？”在上述问题中，获得赠与的人数为（）

A.191 B.193 C.195 D.197

6.函数在区间上的大致图象为

A. B.

C. D.

7.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离之和为8，则双曲线的方程为（）

A. B. C. D.

8.已知，，，则，，大小关系为（）

A. B. C. D.

二.多选题（共4小题）

9.设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）

A.函数在上递减，在上递减

B.函数上递增，在上递增

C.函数有极大值和极小值

D.函数有极大值和极小值

10.等差数列中，前项和为，若，则下列命题中真命题是（）

A.公差

B.

C.是各项中最大的项

D.是中最大的值

11.下列命题中真命题有（）

A.若，则是函数的极值点

B.函数的切线与函数可以有两个公共点

C.函数在处的切线方程为，则当时，

D.若函数的导数，且，则不等式的解集是

12.已知是公比为的等比数列，且，曲线：，．（）

A.若且，则是椭圆

B.若存在，使得表示离心率为的椭圆，则

C.若存在，使得表示渐近线方程为的双曲线，则

D.若，表示双曲线的实轴长，则

三.填空题（共4小题）

13.写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程：___________.①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上；③离心率为.

14.现有一根长为81米的圆柱形铁棒，第1天截取铁棒长度的，从第2天开始每天截取前一天剩下长度的，则第5天截取的长度是______米.

15.已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是__．

16.如图，抛物线的焦点为,点与关于坐标原点对称，过的直线与抛物线交于两点，使得，又点在轴上的投影为，则____________．

四.解答题（共6小题）

17.在等差数列中，已知，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若____，求数列的前项和.

在①，②，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解.

18.已知函数.

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）求函数的单调区间与极值.

19.如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为.

（1）若，求切线所在直线方程；

（2）求的最小值.

20.已知数列的各项均为正数，前项和为，，．

（1）求数列的项；

（2）求数列的前项和.

21.已知椭圆，右焦点的坐标为，且点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）过点的直线交椭圆于两点（直线不与轴垂直），已知点与点关于轴对称，证明：直线恒过定点，并求出此定点坐标．

22.设函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，若的最小值为，证明：.

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2022-2023学年南京市第一中学高二上学期期末考试

一.选择题（共8小题）

1.椭圆的短轴的长是（）

A.3 B.4 C.6 D.8

【答案】C

【解析】

【分析】根据椭圆方程确定其焦点位置，再根据短轴长的定义确定其短轴长.

【详解】椭圆，，且焦点在轴上，

所以椭圆的短轴长为，

故选：C.

2.过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段中点的横坐标为3，则等于（）

A.2 B.4 C.6 D.8

【答案】D

【解析】

【分析】根据抛物线方程得它的准线为，从而得到线段中点到准线的距离等于4．过、分别作、与垂直，垂足分别为、，根据梯形中位线定理算出，结合抛物线的定义即可算出的长．

【详解】解：抛物线方程为，抛物线的焦点