2.6 双曲线及其方程（解析版） .docx

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第二章平面解析几何

2.6双曲线及其方程

题型一.双曲线的标准方程

考点1.双曲线的定义

1．设命题甲：||MF1|﹣|MF2||是定值，命题乙：点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则命题甲是命题乙的（）

A．充分但不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：若点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则||MF1|﹣|MF2||是定值2a．

若：||MF1|﹣|MF2||是定值，当定值大于等于|F1F2|时，则轨迹不是双曲线．

所以甲是命题乙的必要不充分条件．

故选：B．

2．已知P是双曲线x236-y264=1上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若|PF2|＝

A．2 B．26 C．26或2 D．30

【解答】解：由双曲线x236-y264=1，可得c

∴F1（﹣10，0），F2（10，0），

而|PF2|＝14，∴点P必在双曲线的右支上，

∴|PF1|＝|PF2|+2a＝14+12＝26．

故选：B．

考点2.对双曲线方程的理解

3．“k＜0”是“方程x21-k+y

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：若方程x21-k

则k（1﹣k）＜0，

即k（k﹣1）＞0，解得k＞1或k＜0，

即“k＜0”是“方程x21-k+y

故选：A．

4．若双曲线x2m-y2m-5=1的一个焦点到坐标原点的距离为3，则m

【解答】解：由题意可得①m＞5，且a2＝m，b2＝m﹣5，

所以c2＝a2+b2＝2m﹣5，可得焦点为：（±2m-5，0），

所以焦点到原点的距离为：2m-5，由题意可得2m-5=3，解得m＝7

②当m＜0，则a2＝﹣m+5，b2＝﹣m，所以c2＝a2+b2＝5﹣2m，

所以5-2m=3，可得：m＝﹣2

故答案为：7或﹣2．

考点3.双曲线的标准方程及其应用

5．已知与椭圆x24+y2＝1共焦点且过点Q（2

A．x2-y22=1 B．x2

C．x22-y2＝1 D

【解答】解：由椭圆x24+y2＝1

设要求的双曲线的标准方程为：x2a2-y2b2

则a2+b2＝3，4a2

解得a2＝2，b2＝1．

∴要求的双曲线的标准方程为：x22

故选：C．

6．动圆M与圆C1：（x+4）2+y2＝1，圆C2：x2+y2﹣8x+7＝0都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）

A．x215+y2

C．x2-y2

【解答】解：圆C1：（x+4）2+y2＝1，圆心C1（﹣4，0），半径r1＝1，

圆C2：x2+y2﹣8x+7＝0?（x﹣4）2+y2＝9，圆心C2（4，0），半径r2＝3，

设M（x，y），半径为r，因为动圆M与圆C1，C2都外切，

所以|MC

所以M的轨迹为以C1，C2为焦点，2a＝2的双曲线左支，

所以a＝1，c＝4，解得b=16-1

即M的轨迹方程为：x2

故选：D．

考点4.定义转化求最值

7．已知双曲线C：x2-y23=1的左焦点为F1，顶点Q(0，23)，P是双曲线C

【解答】解：∵F1、F2是双曲线C：x2-y23=1的左、右焦点，∴F1（﹣2，0

又P是C右支上一动点，

∴由双曲线的定义知，|PF1|﹣|PF2|＝2，

∴|PF1|＝|PF2|+2，又顶点Q(0，

∴|PF1|+|PQ|＝|PF2|+|PQ|+2≥|QF2|+2．

∵|QF2|=22

∴|QF2|+2＝6．

∴|PF1|+|PQ|≥6．

故|PF1|+|PQ|的最小值为6．

故答案为：6．

8．已知双曲线x24-y22=1右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，2)，则

【解答】解：由题意，点F(6，0)，△APF的周长l＝|AF|+|AP|+|PF|＝|AF|+2a+|PF|+|AP|，要△APF的周长最小，只需|AP|+|

如图，当A、P、F′三点共线时取到，因为AF＝AF，

故l=2|AF|+2a=4(1+2

故答案为：4（1+2

题型二.双曲线中的焦点三角形

1．已知双曲线x216-y29=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与该双曲线的右支交于A、B两点，若|AB|

A．16 B．20 C．21 D．26

【解答】解：由双曲线的方程可知a＝4，

则|AF1|﹣|AF2|＝8，|BF1|﹣|BF2|＝8，

则|AF1|+|BF1|﹣（|BF2|+|AF2|）＝16，

即|AF1|+|BF1|＝|BF2|+|AF2|+16＝|AB|+16＝5+16＝21，

则△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|＝21+5＝26，

故选：D．

2．双曲线x29-y216=1的两个焦点为F1、F2，