课标专用5年高考3年模拟A版2024高考数学专题五平面向量1平面向量的概念及线性运算平面向量的基本定.docxVIP

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专题五平面对量

【真题探秘】

§5.1平面对量的概念及线性运算、平面对量的基本定理

探考情悟真题

【考情探究】

考点

内容解读

5年考情

预料

热度

考题示例

考向

关联考点

平面对量

的线性运

算及其几

何意义

①理解平面对量的有关概念及向量的表示方法;②驾驭向量加法、减法、数乘的运算,理解其几何意义;③理解两个向量共线的含义;④了解向量线性运算的性质及其几何意义

2024课标全国Ⅰ,7,5分

平面对量的混合运算

—

★★☆

2024课标全国Ⅱ,4,5分

平面对量的有关概念

垂直、平行、模的关系

平面对量

基本定理

及向量的

坐标运算

①了解平面对量基本定理及其意义;②驾驭平面对量的正交分解及其坐标表示;③会用坐标对向量进行线性运算;④理解用坐标表示的平面对量共线的条件

2024课标全国Ⅲ,13,5分

平面对量的坐标运算

两向量平行的充要条件

★★☆

2024课标全国Ⅱ,13,5分

平面对量的坐标运算

两向量平行的充要条件

2024课标全国Ⅱ,3,5分

平面对量的坐标运算

向量的模

分析解读

从近几年的高考试题来看,高考对本节内容的考查以选择题和填空题为主,重点考查向量的概念、几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件和向量的坐标运算,此类问题一般难度不大.向量的有关概念、向量的线性运算、平面对量基本定理、向量的坐标运算等学问是平面对量的基础,高考主要考查基础运用,其中线性运算、坐标运算、平面对量基本定理是高考的重点与热点,要娴熟驾驭.

破考点练考向

【考点集训】

考点一平面对量的线性运算及其几何意义

1.(2025届西南地区名师联盟8月联考,2)如图,向量a-b等于()

A.-e1+3e2 B.-4e1-2e2C.e1-3e2 D.-2e1-4e2

答案A

2.(2025届河北邢台第一次联考,5)如图,AB是圆O的一条直径,C,D是半圆弧的两个三等分点,则AB=()

A.AC-AD B.2AC-2AD

C.AD-AC D.2AD-2AC

答案D

3.(2024吉林调研,8)已知a,b是不共线的非零向量,AB=λa+b,AC=a+μb(λ,μ∈R),若A,B,C三点共线,则λ,μ的关系肯定成立的是()

A.λμ=1 B.λμ=-1

C.λ-μ=1 D.λ+μ=2

答案A

4.(2024广东普宁一中月考,9)在△OAB中,若点C满意AC=2CB,OC=λOA+μOB,则1λ+1

A.13 B.23 C.2

答案D

考点二平面对量基本定理及向量的坐标运算

1.(2024河北衡水中学五调,8)已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则m的取值范围是()

A.(-∞,2) B.(2,+∞)C.(-∞,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞)

答案D

2.(2025届山西长治二中等六校9月联考,3)已知平面对量a=(-1,2),b=(2,y),且a∥b,则3a+2b=()

A.(-1,7) B.(-1,2) C.(1,2) D.(1,-2)

答案D

3.(2024四川成都石室中学一诊,15)在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为DC边的中点,P为线段AE上的动点,设向量AP=λDB+μAD,则λ+μ的最大值为.?

答案2

炼技法提实力

【方法集训】

方法1向量共线问题的求解方法

1.(2024福建漳州二模,5)已知点C(1,-1),D(2,x),若向量a=(x,2)与CD的方向相反,则|a|=()

A.1 B.2 C.22 D.2

答案C

2.设a,b是不共线的两个非零向量.

(1)若OA=2a-b,OB=3a+b,OC=a-3b,求证:A、B、C三点共线;

(2)若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值;

(3)设OM=ma,ON=nb,OP=αa+βb,其中m,n,α,β均为实数,m≠0,n≠0,若M、N、P三点共线,求证:αm+β

答案(1)证明:∵AB=OB-OA=(3a+b)-(2a-b)=a+2b,BC=OC-OB=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2AB,

∴AB与BC共线,且有公共点B,

∴A、B、C三点共线.

(2)∵8a+kb与ka+2b共线,

∴存在实数λ,使得8a+kb=λ(ka+2b)?(8-λk)a+(k-2λ)b=0.

∵a与b为不共线的非零向量,

∴8-λk=0

∴k=2λ=±4.

(3)证法一:∵M、N、P三点共线,

∴存在实数μ,使得MP=μPN,

∴OP=OM+μON1+μ=

∵a,b为不共线的非零向量,OP=αa+βb,

∴α

∴αm+βn=11+

证