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几个博弈论中的经典问题

博弈论（GameTheory），亦名“对策论”、“赛局理论”，属应用数学的一个分支，博

弈论已经成为经济学的标准分析工具之一。目前在生物学、经济学、国际关系、计算机科学、

政治学、军事战略和其他很多学科都有广泛的应用。博弈论主要研究公式化了的激励结构间

的相互作用。是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法。也是运筹学的一个重要学

科。博弈论考虑游戏中的个体的预测行为和实际行为，并研究它们的优化策略。生物学家使

用博弈理论来理解和预测进化论的某些结果。

几个重要的概念

1、策略(strategies)：一局博弈中，每个局中人都有选择实际可行的完整的行动方案，

即方案不是某阶段的行动方案，而是指导整个行动的一个方案，一个局中人的一个

可行的自始至终全局筹划的一个行动方案，称为这个局中人的一个策略。如果在一

个博弈中局中人都总共有有限个策略，则称为“有限博弈”，否则称为“无限博

弈”。

2、得失(payoffs)：一局博弈结局时的结果称为得失。每个局中人在一局博弈结束时

的得失，不仅与该局中人自身所选择的策略有关，而且与全局中人所取定的一组策

略有关。所以，一局博弈结束时每个局中人的“得失”是全体局中人所取定的一组

策略的函数，通常称为支付（payoff）函数。

3、次序（orders）：各博弈方的决策有先后之分，且一个博弈方要作不止一次的决策

选择，就出现了次序问题；其他要素相同次序不同，博弈就不同。

4、博弈涉及到均衡：均衡是平衡的意思，在经济学中，均衡意即相关量处于稳定值。

在供求关系中，某一商品市场如果在某一价格下，想以此价格买此商品的人均能买

到，而想卖的人均能卖出，此时我们就说，该商品的供求达到了均衡。

5、纳什均衡(NashEquilibrium)：在一策略组合中，所有的参与者面临这样一种情况，

当其他人不改变策略时，他此时的策略是最好的。也就是说，此时如果他改变策略

他的支付将会降低。在纳什均衡点上，每一个理性的参与者都不会有单独改变策略

的冲动。纳什均衡点存在性证明的前提是“博弈均衡偶”概念的提出。所谓“均衡

偶”是在二人零和博弈中，当局中人A采取其最优策略a*,局中人B也采取其最优

策略b*,如果局中人B仍采取b*,而局中人A却采取另一种策略a，那么局中人A

的支付不会超过他采取原来的策略a*的支付。这一结果对局中人B亦是如此。

经典的博弈问题

1、“囚徒困境”

“囚徒困境”是博弈论里最经典的例子之一。讲的是两个嫌疑犯（Ａ和Ｂ）作案后被警

察抓住察抓住，，隔离审讯；警隔离审讯；警方的政策是方的政策是坦白从宽坦白从宽，，抗拒从严抗拒从严，如果两人都坦白则各判８年；如

果一人坦白另一人不坦白，坦白的放出去，不坦白的判１０年；如果都不坦白则因证据不足

各判１年。

在这个例子里，博弈的参加者就是两个嫌疑犯Ａ和Ｂ，他们每个人都有两个策略即坦白

和不坦白，判刑的年数就是他们的支付。可能出现的四种情况：Ａ和Ｂ均坦白或均不坦白、

Ａ坦白Ｂ不坦白或者Ｂ坦白Ａ不坦白，是博弈的结果。Ａ和Ｂ均坦白是这个博弈的纳什均衡。

这是因为，假定Ａ选择坦白的话，Ｂ最好是选择坦白，因为Ｂ坦白判８年而抵赖却要判十年；

假定Ａ选择抵赖的话，Ｂ最好还是选择坦白，因为Ｂ坦白判不被判刑而抵赖确要被判刑１年。

即是说，不管Ａ坦白或抵赖，Ｂ的最佳选择都是坦白。反过来，同样地，不管Ｂ是坦白还是

抵赖，Ａ的最佳选择也是坦白。结果，两个人都选择了坦白，各判刑８年。在（坦白、坦白）

这个组合中，Ａ和Ｂ都不能通过单方面的改变行动增加自己的收益，于是谁也没有动力游离

这个组合，因此这个组合是纳什均衡。

囚徒困境反映了个人理性和集体理性的矛盾。如果Ａ和Ｂ都选择抵赖，各判刑１年，显

然比都选择坦白各判刑８年好得多。当然，Ａ和Ｂ可以在被警察抓到之前订立一个然比都选择坦白各判刑８年好得多。当然，Ａ和Ｂ可以在被警察抓到之前订立一个攻守同

盟盟，但是这可能不会有用，因为它不构成纳什均衡，没有人有积极性遵守这个协定。

2、海盗分金币问题

在一座座荒岛上，有5个强盗掘出了100块非常珍贵的金币。他们商定了一个分配金币

的规则：首先抽签决定每个人的次序，排列成强盗一至五。然后由强盗一先提出分配方案，

经5人表决，如多数人同意，方案就被通过，否