北师版高中数学必修第二册课后习题 第4章 三角恒等变换 习题课 三角恒等变换的综合应用.docVIP

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第四章习题课三角恒等变换的综合应用

A级必备知识基础练

1.sin215°+cos215°+sin15°cos15°的值等于()

A.62 B.54 C.3

2.2cos10°-

A.12 B.32 C.3

3.若cosπ2-α=-23,则cos2α=()

A.-19 B.19 C.-4

4.(多选)[重庆九龙坡月考]下列各式中,值为12

A.2sin15°cos15° B.2cos215°-1

C.1+cos30°2

5.已知cos2θ=45,则sin4θ+cos4θ=

6.化简2tan(45°-

7.已知tanα=2.

(1)求tanα+π

(2)求sin2αsi

8.已知5sinβ=sin(2α+β),求证:2tan(α+β)=3tanα.

B级关键能力提升练

9.设a=12cos5°-32sin5°,b=2tan13°

A.bac B.cab

C.bca D.cba

10.已知π2απ,且cosα-π6=-45,则cosα的值为

A.35 B.-

C.3-4

11.在△ABC中,点P在线段AB上,且BA=4BP,若CP=cos2θ·CA+sin2θ·CB,则cos2θ=()

A.-12 B.1

C.-14 D.

12.已知A,B,C是△ABC的三个内角,且tanA,tanB是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则△ABC是 ()

A.钝角三角形 B.锐角三角形

C.等腰三角形 D.等边三角形

13.如图所示,有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏,现要把它截成一块正方形的钢板EFGH,其面积是原正方形钢板面积的三分之二,则sinx+π4=;应按角度x=来截.?

14.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若tanAtanB=4(tanA+tanB)tanC,则a2+b

15.已知cosα-β2=-277,sinα2-

(1)cosα+β2

16.已知向量a=(cosx,sinx),b=(-cosx,cosx),c=(-1,0).

(1)若x=π6

(2)当x∈π2

C级学科素养创新练

17.已知cosπ4+x=35,若17π12x7π4,求

18.如图,矩形ABCD的长AD=23,宽AB=1,A,D两点分别在x,y轴的正半轴上移动,B,C两点在第一象限,求OB2的最大值.

参考答案

习题课三角恒等变换的综合应用

1.Bsin215°+cos215°+sin15°cos15°=1+12sin30°=1+1

2.C原式=2cos

=2

=3cos20

3.B由cosπ2-α=-23,可得sinα=-23,则cos2α=1-2sin2α=1-2×-232=19

4.AD2sin15°cos15°=sin30°=12

2cos215°-1=cos30°=32

1+cos30°2=cos15°≠

tan22.5°

故选AD.

5.4150(方法一)因为cos2θ=4

所以2cos2θ-1=45,1-2sin2θ=4

即cos2θ=910,sin2θ=1

所以sin4θ+cos4θ=4150

(方法二)sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-12sin22θ=1-12(1-cos22θ)=1-

6.12原式=tan(90°-2α)·

=sin(

7.解(1)tanα

=tanα

(2)sin2

=2sin

=2sin

=2tanα

8.证明5sinβ=5sin[(α+β)-α]

=5sin(α+β)cosα-5cos(α+β)sinα,

sin(2α+β)=sin[(α+β)+α]

=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα.

因为5sinβ=sin(2α+β),所以5sin(α+β)cosα-5cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα,所以4sin(α+β)cosα=6cos(α+β)sinα,

所以2tan(α+β)=3tanα.

9.Ba=12cos5°-3

b=2tan13°1+tan

因为y=sinx在(0°,90°)上单调递增,且24°25°26°,

所以sin24°sin25°sin26°,即cab.

故选B.

10.D因为π2

所以π3α-π

因为cosα-π6=-45,

所以sinα-π6=35,

所以cosα=cosα-π6+π6=cosα-π6cosπ6-sinα-π6sinπ6=-45×3

11.A如图所示,因为BA=4BP,所以AP=3PB.

根据向量相关公式可得CP=31+3

又因为CP=cos2θ·CA+sin2θ·CB,

所以cos2θ=14,