对数的运算Word版含解析.docVIP

§2对数的运算

学习目标

核心素养

1.掌握对数的运算性质．(重点)

2．能灵活使用对数的运算性质和换底公式进行化简、求值．(难点)

1．通过对数的运算性质的应用，培养数学运算素养．

2．通过对数的运算性质及换底公式的推导的，培养逻辑推理素养．

1．对数的运算性质

若a0，且a≠1，M0，N0，那么：

(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN，

(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN，

(3)logaMn＝nlogaM(n∈R).

2．换底公式

若c0且c≠1，则logab＝eq\f(logcb,logca)(a0，且a≠1，b0).

思考：结合对数的换底公式探究logba与logab，loganbm与logab之间有什么关系？

提示：logba＝eq\f(1,logab)，loganbm＝eq\f(m,n)logab.

1．已知lga＝2.31，lgb＝1.31，则eq\f(b,a)等于()

A．eq\f(1,100)B．eq\f(1,10)C．10D．100

B[由已知得lgeq\f(b,a)＝lgb－lga＝1.31－2.31＝－1，

∴eq\f(b,a)＝10－1＝eq\f(1,10).]

2.eq\f(log29,log23)＝()

A．eq\f(1,2)B．2C．eq\f(3,2)D．eq\f(9,2)

B[原式＝eq\f(log29,log23)＝eq\f(log232,log23)＝2.]

3．lgeq\r(5)＋lgeq\r(20)的值是________．

1[lgeq\r(5)＋lgeq\r(20)＝lgeq\r(100)＝lg10＝1.]

4．用lgx，lgy，lgz表示下列各式：

(1)lg(xyz)；(2)lgeq\f(xy2,z)；

(3)lgeq\f(xy3,\r(z))；(4)lgeq\f(\r(x),y2z).

[解](1)lg(xyz)＝lgx＋lgy＋lgz.

(2)lgeq\f(xy2,z)＝lg(xy2)－lgz＝lgx＋2lgy－lgz.

(3)lgeq\f(xy3,\r(z))＝lg(xy3)－lgeq\r(z)＝lgx＋3lgy－eq\f(1,2)lgz.

(4)lgeq\f(\r(x),y2z)＝lgeq\r(x)－lg(y2z)＝eq\f(1,2)lgx－2lgy－lgz．

对数运算性质的应用

【例1】求下列各式的值：

(1)log2(47×25)；

(2)lgeq\r(5,100)；

(3)lg14－2lgeq\f(7,3)＋lg7－lg18；

(4)lg5·lg20＋(lg2)2.

[解](1)log2(47×25)＝log247＋log225＝7log24＋5log22＝7×2＋5×1＝19.

(2)lgeq\r(5,100)＝lg100eq\s\up6(\f(1,5))＝eq\f(1,5)lg100＝eq\f(1,5)×2＝eq\f(2,5).

(3)lg14－2lgeq\f(7,3)＋lg7－lg18＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.

(4)法一：原式＝lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝(lg5＋lg2)2＝(lg10)2＝1.

法二：原式＝(1－lg2)(1＋lg2)＋(lg2)2＝1－(lg2)2＋(lg2)2＝1.

对数式的化简与求值的思路

(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简．

(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．

eq\a\vs4\al([跟进训练])

1．求下列各式的值

(1)2eq\s\up6(4＋log23)；(2)eq\f(1,2)log312－log32；(3)lg25＋2lg2－lg22.

[解](1)2eq\s\up6(4＋log23)＝24×2log23＝16×3＝48.

(2)eq\f(1,2)log312－log32＝log3eq\r(12)－log32＝log3eq\f(\r(12),2)

＝log3eq\r(3)＝eq\f(1,2).

(3)法一：lg25＋2lg2－lg22

＝(lg