北师版高考理科数学一轮总复习课后习题 解答题专项5 第1课时 圆锥曲线中的最值(或范围)问题.docVIP

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解答题专项五直线与圆锥曲线

第1课时圆锥曲线中的最值(或范围)问题

解答题专项练

1.(全国乙,理21)已知抛物线C::x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.

(1)求p;

(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.

解:(1)点F0,p2

(2)由(1)知,抛物线的方程为x2=4y,即y=14x2,则y=1

设切点A(x1,y1),B(x2,y2),则易得直线lPA:y=x12x-x124,直线lPB

从而得到Px1+x

设直线lAB:y=kx+b,联立抛物线方程,消去y并整理可得x2-4kx-4b=0,

∴Δ=16k2+16b0,即k2+b0,且x1+x2=4k,x1x2=-4b,

∴P(2k,-b).

∵|AB|=1+k2·(x1+x2)2-4x1

又点P(2k,-b)在圆M:x2+(y+4)2=1上,

故k2=1-(b-4)24,代入

而yP=-b∈[-5,-3],

∴当b=5时,(S△PAB)max=205.

2.已知抛物线E:x2=4y与椭圆C:y2a2+x2b

(1)求椭圆C的方程;

(2)求△MAB面积的最小值.

解:(1)由抛物线E:x2=4y,得其焦点坐标为(0,1),

故椭圆的焦点也为(0,1),∴c=1,由椭圆的离心率为e=ca

∴b=3,椭圆C的方程为y2

(2)由(1)可知,椭圆的上顶点的坐标为(0,2),

设M(:y-y1=x12(:y-y2=x2

所以y

所以直线AB的方程为y0-y=x2(x0-x),化简可得x0x=2(y+y0

又直线AB经过椭圆的上顶点,所以y0=-2,

所以直线AB的方程为x0x=2(y-2),联立方程x

可得x0x=2x24-2,

∴x2-2x0x-8=0,Δ=4x0

|AB|=1+x

M到直线AB的距离d=|x

∴S=12×1+x024

故△MAB面积的最小值为82.

3.已知抛物线C:x2=4y和圆E:x2+(y+1)2=1,过抛物线上一点P(x0,y0)作圆E的两条切线,分别与x轴交于A,B两点.

(1)若切线PB与抛物线C也相切,求直线PB的斜率;

(2)若y0≥2,求△PAB面积的最小值.

解:(1)设切线PB的方程为y=k=0,即k2+m=0,

由直线与圆相切可得圆心到直线的距离d=|m+1|1+k2

所以m2+3m=0,m=-3或m=0(舍去),k2=3,k=±3.

(2)因为y0≥2,所以切线PA,PB的斜率一定存在.

设圆E的切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y+y0-kx0=0,圆心到直线的距离d=|1+

整理得(x02-1)k2-(2x0y0+2x0)k+y0

设PA,PB的斜率分别为k1,k2,则k1+k2=2x0y0+2x0x02-1,k1k2=y0

|AB|=x0-y0k1-x0-y0k2=k1-k2k1k2·y0=

S△PAB=12|AB|·y0=12·2y

令f(y)=(y

所以f(y)=2y

f(y)在[2,+∞)上单调递增,

所以f(y)min=f(2)=4.

所以S△PAB的最小值为2.

4.(陕西榆林二模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=2px(p0)与直线l:|为半径的圆上的一点(非原点),过点G作抛物线C的两条切线,切点分别为A,B.

(1)求抛物线C的方程;

(2)求△ABG面积的取值范围.

解:(1)由题意可设P(4,y),Q(4,-y),则OP=(4,y),OQ=(4,-y).

∵OP⊥OQ,∴OP·OQ=16-y

即y2=16.

又y2=8p,∴p=2,故抛物线C的方程为y2=4x.

(2)现证明过抛物线C:y2=4x上的任意一点N(x0,y0)的切线方程为y0y=2x+2x0.

∵点N(x0,y0)在抛物线C上,

∴y02=4x

由y2=4x,y0y=2x+2x0,得y2-2y0y+4x0

设A(x1,y1),B(x2,y2),G(x3,y3)(x3≠0),

则圆G的切线GA,GB的方程分别为y1y=2x+2x1和y2y=2x+2x2,

∵点G在切线GA,GB上,∴y1y3=2x3+2x1,y2y3=2x3+2x2,故直线AB的方程为y3y=2x+2x3.

由y

得y2-2y3y+4x3=0,则Δ=4y32-16x30,y1+y2=2y3,y1y2=4x

故|AB|=1+(y

由题意M(-1,0),圆M的方程为(x+1)2+y2=1,∴(x3+1)2+y32=1,-2≤x

点G到直线AB的距离为d=|4

S△ABG=12|AB|d=12(4+y3

∵y32-4x3=-x32-6x3=-(x3+3)2+9∈(0,8],∴S△ABG

故△ABG面积的取值范围为(0,82].