北师版高考理科数学一轮总复习课时练习题 第4章 三角函数、解三角形 余弦定理、正弦定理及应用举例.docVIP

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课时规范练24余弦定理、正弦定理及应用举例

基础巩固组

1.(四川成都二诊)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=3b,sinA=35

A.15 B.115

答案:A

解析:由正弦定理可知asinA

即3b35

2.(江西宜春模拟)在△ABC中,BC=17,AC=3,cosA=13,则△

A.42 B.2 C.4 D.

答案:A

解析:因为BC=17,AC=3,cosA=13,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA,所以AB2-2AB-8=0,所以AB=4.又因为cosA=13,A∈(0,π),所以sinA=

所以S△ABC=12AB·AC·sinA=12×4×3

3.(四川眉山三诊)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若△ABC的面积S△ABC=c2

A.π3 B.2π3

答案:C

解析:由S△ABC=12absinC,得c

整理得c2=a2+b2+2absinC,

由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC,所以sinC=-cosC,即tanC=-1.

又C∈(0,π),所以C=3π

4.(河南郑州模拟)△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,A=30°,a=3,若这个三角形有两解,则b的取值范围是()

A.3b≤23 B.3

C.b23 D.b≤23

答案:B

解析:当△ABC有两解时,bsinAab,

即bsin30°3b,解得3b23

5.(云南红河三模)如图所示,网格中小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点均在小正方形的顶点处,则△ABC外接圆的面积为()

A.130π9 B.65π9

答案:C

解析:由图可知a=3,b=10,c=13,由余弦定理,得cosC=10+9-13610=1010,所以sinC=31010.

6.(山西临汾适应性考试)说起延安革命纪念地景区,可谓是家喻户晓,它由宝塔山、枣园革命旧址、杨家岭革命旧址、西北局革命旧址、延安革命纪念馆组成.尤其宝塔山,它可是圣地延安的标志,见证了中国革命的进程,在中国老百姓的心中具有重要地位.如图,宝塔山的坡度比为7∶3(坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比),在山坡A处测得∠CAD=15°,从A处沿山坡往上前进66m到达B处,在山坡B处测得∠

A.44m B.42m C.48m D.46m

答案:A

解析:由题可知∠CAD=15°,∠CBD=30°,则∠ACB=15°,

所以BC=AB=66.

设坡角为θ,则由题可得tanθ=73,则可求得cosθ=

在△BCD中,∠BDC=θ+90°,

由正弦定理,得CDsin30°=

故宝塔CD的高为44m.

7.(江苏徐州考前模拟)在平面四边形ABCD中,AB=8,AC=14,cos∠BAC=57,内角B与D互补,若AC平分∠BAD,则CD的长为

答案:10

解析:在△ABC中,由余弦定理,得BC=

AB

由cos∠BAC=57可得sin∠BAC=

由正弦定理,得sinB=ACBCsin∠BAC=14

又内角B与D互补,所以sinD=sinB=2

因为AC平分∠BAD,所以sin∠DAC=sin∠BAC=26

所以由正弦定理,得CD=ACsinDsin∠DAC=14

8.(浙江杭州二模)设a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,a+cb=sinA-sinBsinA-sinC.

答案:π

解析:因为a+cb

整理得a2+b2-c2=ab,由余弦定理,得cosC=a2+

由a2+b2-c2=ab且a=1,c=7得b2-b-6=0,解得b=3或b=-2(舍去),

所以△ABC的面积S=12absinC=12

9.(山东潍坊二模)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2b2=(b2+c2-a2)(1-tanA).

(1)求角C;

(2)若c=210,D为BC中点,cosB=25

解:(1)∵2b2=(b2+c2-a2)(1-tanA),∴2b2=2bccosA·(1-tanA).

∴b=c(cosA-sinA),

由正弦定理,得sinB=sinC(cosA-sinA),

∴sin(A+C)=sinCcosA-sinCsinA,

∴sinAcosC=-sinCsinA,

∵sinA≠0,∴tanC=-1,又C∈(0,π),解得C=3π

(2)∵cosB=255,∴

∵sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=1010

由正弦定理,得a=csinAsin

∴BD=2,

在△ABD中,由余弦定理,得AD2=AB2+BD2-2AB·BDcosB,解得AD=26

10.(山东德州二模)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分