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2024年版
2024-2025学年湖南省衡阳八中高二(上)开学数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M={x|x2+x?2≤0},Q={x∈N||x|≤2},则M∩Q=
A.{0,1} B.{?2,?1,0,1} C.[?2,1] D.[0,1]
2.已知复数z满足z?(1?i)=3+5i,则复数z=(????)
A.4+4i B.4?4i C.?1+4i D.?1?4i
3.如图,△ABC中,D为BC边的中点,E为AD的中点,则BE=(????)
A.?34AB+14AC
B.
4.下列方程中表示圆心在直线y=x上,半径为2,且过原点的圆的是(????)
A.(x?1)2+(y?1)2=2
5.将函数f(x)=sin(2x?π3)的图象先向左平移π6个单位,纵坐标不变,再将横坐标伸长为原来的2倍,得到函数g(x)
A.g(x)=sin(x?2π3) B.g(x)=sin
6.已知函数f(x)=|x+2|,x≤0log2x,x0,关于x的方程[f(x)]2=mf(x)+1
A.(?32,1) B.(?∞,32]
7.如图,在平面四边形ABCD中,若BC=2AB=4,AC=27,AB⊥BD,∠BCD=π4,则BD=
A.3
B.2
C.26
8.在△ABC中,A=π6,B=π2,BC=1,D为AC中点,若将△BCD沿着直线BD翻折至△BC′D,使得四面体C′?ABD的外接球半径为1,则直线BC′与平面ABD
A.33 B.23 C.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.设A,B为两个随机事件,以下命题正确的是(????)
A.若A,B是对立事件,则P(AB)=1
B.若A,B是互斥事件,P(A)=13,P(B)=12,则P(A+B)=56
C.若P(A?)=13,P(B?)=12,且P(AB)=1
10.以下四个命题叙述正确的是(????)
A.直线2x?y+1=0在x轴上的截距是1
B.直线x+ky=0和2x+3y+8=0的交点为P,且P在直线x?y?1=0上,则k的值是?12
C.设点M(x,y)是直线x+y?2=0上的动点,O为原点,则|OM|的最小值是2
D.直线L1:ax+3y+1=0,L2:2x+(a+1)y+1=0,若
11.已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2,M为CC1的中点,P
A.AM⊥B1M B.CD1//平面A1BP
C.AM与A
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.对任意的实数λ,直线(2+λ)x?(1+λ)y?2(3+2λ)=0所过的定点为______.
13.设正方形ABCD的边长为4,动点P在以AB为直径的圆上,则PC?PD的取值范围为______.
14.函数f(x)=|sinx|+|cosx|+|sin2x|的值域为______.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知直线m:(a?1)x+(2a+3)y?a+6=0,n:x?2y+3=0.
(1)若坐标原点O到直线m的距离为5,求a的值;
(2)当a=0时,直线l过m与n的交点,且它在两坐标轴上的截距相反,求直线l的方程.
16.(本小题15分)
记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足2c+b?2acosB=0.
(1)求角A;
(2)若a=23,BA?AC=32,
17.(本小题15分)
文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号,作为普通市民,既是文明城市的最大受益者,更是文明城市的主要创造者,某市为提高市民对文明城市创建的认识,举办了“创建文明城市”知识竞赛,从所有答卷中随机抽取100份作为样本,将样本的成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:[40,50)[50,60),?,[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值,并求样本成绩的第80百分位数;
(2)已知落在[50,60)的平均成绩是56,方差是7,落在[60,70)的平均成绩为65,方差是4,求两组成绩的总平均数z?和总方差s2.
18.(本小题17分)
如图,四棱锥P?ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.
(1)证明:l⊥平面PDC;
(2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.
19.(本小题17分)
一般地,n元有序实数对(a1,a2,?,an)称为n维向量.对于两个n维向量a=(a1,a2,?,an),b
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