北师版高考数学一轮总复习课后习题 第四章 一元函数的导数及其应用 课时规范练17.docVIP

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课时规范练17

《素养分级练》P303

基础巩固组

1.设x=θ是函数f(x)=3cosx+sinx的一个极值点,则tanθ=()

A.-3 B.-13 C.1

答案:C

解析:∵由已知可得f(θ)=-3sinθ+cosθ=0,∴tanθ=13

2.(湖南长郡中学高三检测)已知函数f(x)的导函数的图象如图所示,则f(x)的极值点的个数为()

A.0

B.1

C.2

D.3

答案:C

解析:因为在x=0附近左、右两边的导数值均为负数,所以0不是极值点,故由图可知f(x)只有2个极值点.

3.(福建莆田三模)已知函数f(x)=(x+1)2+cos(x+1)+a的最小值是4,则a=()

A.3 B.4 C.5 D.6

答案:A

解析:f(x)=2(x+1)-sin(x+1),令g(x)=f(x),则g(x)=2-cos(x+1)0,所以f(x)单调递增,又f(-1)=0,所以当x-1时,f(x)0,当x-1时,f(x)0,故x=-1为f(x)的最小值点,即f(-1)=1+a=4,解得a=3.

4.(福建龙岩三模)为了支援B市抗击疫情,A市组织物流企业的汽车运输队走高速公路向B市运送抗疫物资.已知A市距离B市500km,设车队从A市匀速行驶到B市,高速公路限速为60km/h~110km/h.已知车队每小时运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度vkm/h的立方成正比,比例系数为b,固定部分为a元.若b=1200,a=104,为了使全程运输成本最低,车队速度v应为

A.80 B.90

C.100 D.110

答案:C

解析:设运输成本为y元,依题意可得y=104+1200v3·500v=52v2+5000000v,v∈[60,110],则y=5v-

5.(多选)(福建德化一中模拟)设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是()

A.?x∈R,f(x)≥f(x0)

B.-x0是f(-x)的极大值点

C.-x0是-f(x)的极小值点

D.-x0是-f(-x)的极小值点

答案:BD

解析:x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,并不一定是最小值点,故A不正确;f(-x)的图象相当于f(x)的图象关于y轴的对称图象,故-x0应是f(-x)的极大值点,故B正确;-f(x)的图象相当于f(x)的图象关于x轴的对称图象,故x0应是-f(x)的极小值点,不能确定-x0的情况,故C不正确;-f(-x)的图象相当于f(x)的图象先关于y轴作对称,再关于x轴作对称得到的图象,故D正确.故选BD.

6.(山东临沂高三检测)若x=-1是函数f(x)=(x2-ax+1)e2-x的一个极值点,则a=;f(x)的极大值为.?

答案:-24e

解析:∵f(x)=(x2-ax+1)e2-x,

∴f(x)=-[x2-(2+a)x+a+1]e2-x.

由题意可得f(-1)=-2(a+2)e3=0,解得a=-2.

∴f(x)=(x2+2x+1)e2-x,f(x)=-(x2-1)e2-x.

令f(x)=0,得x=-1或x=1.

列表如下:

x

(-∞,

-1)

-1

(-1,1)

1

(1,

+∞)

f(x)

-

0

+

0

-

f(x)

单调递减

极小值

单调递增

极大值

单调递减

∴函数y=f(x)的单调递减区间为(-∞,-1)和(1,+∞),单调递增区间为(-1,1),

∴函数y=f(x)的极大值为f(1)=4e.

7.(湖南益阳3月调研)已知函数f(x)=x+1,x≤0,lnx,x0,若f(x1)=f(x2)且x1x2

答案:4-2ln2

解析:由f(x)=x+1,

因为f(x1)=f(x2)且x1x2,

所以0x2≤e,且x1+1=lnx2,

所以x2-2x1=x2-2(lnx2-1).

令g(x)=x-2lnx+2,0x≤e,则g(x)=1-2x=x

8.(山东济宁模拟)若函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)取得极值-43

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)若方程f(x)=k有3个不同的实数根,求实数k的取值范围.

解:(1)对f(x)求导,得f(x)=3ax2-b,

由题意,得f

解得a=

∴f(x)=13x3

(2)由(1)可得f(x)=x2-4=(x-2)(x+2),

令f(x)=0,得x=2或x=-2,

∴当x-2时,f(x)0;

当-2x2时,f(x)0;

当x2时,f(x)0.

因此,当x=-2时,f(x)取得极大值283

当x=2时,f(x)取得极小值-43

函数f(x)=13x3

要使方程f(x)=k有3个不同的实数根,

由图可知,实数k的取