浅谈矩阵的秩.docVIP

浅谈矩阵的秩

浅谈矩阵的秩

浅谈矩阵的秩

目录

摘要 1

Abstract 1

TOC\o”1—3”\h\z\uHYPERLINK\l”_Toc438051828前言 1

1。矩阵的秩的概念 1

_Toc438051831”2。1子式判别法 2

2.2初等变换法 2

_Toc4380518343.1方程组与矩阵的秩 2

HYPERLINK\l”_Toc438051835”3.1。1判断齐次线性方程组有非零解 3

HYPERLINK\l”_Toc4380518363.1.2判断非齐次线性方程组的解 3

HYPERLINK\l”_Toc438051837”3。1。3线性方程组有解 3

HYPERLINK\l”_Toc438051838”3.2矩阵运算与矩阵的秩 4

3.2.1加法 4

HYPERLINK\l”_Toc438051840”3.2。2乘法 4

HYPERLINK\l”_Toc4380518413.3可逆矩阵与矩阵的秩 4

结束语 5

HYPERLINK\l_Toc438051843”参考文献 5

PAGE1

浅谈矩阵的秩

摘要:矩阵的秩，是矩阵最重要的数字特征之一.矩阵的很多性质可以通过矩阵的秩来刻画。基于矩阵的秩在高等代数学中的重要性，本文系统总结了矩阵的秩的基本性质,求法及其应用。

关键词：矩阵的秩；线性方程组;初等变换,可逆矩阵

Matrix?rank?

Abstract:Matrixrank,itisoneofthemostimportantcharacteristicsofdigitalmatrix。Manypropertiesofmatrixrankofthematrixtodepict。Basedonthematrixrankinhigheralgebra,theimportanceofsysteminthispapersummarizesthebasicpropertiesoftherankofmatrix,thecalculationmethodsandtheirapplications.

Keywords：matrixrank;Systemoflinearequations;Elementarytransformation,reversiblematrix。

前言

矩阵是数学中的一个重要的基本概念，也是应用数学研究的一个重要工具.矩阵的理论是线性代数的主要组成部分，也是线性方程组的理论基础。而在矩阵的理论中,矩阵的秩是一个基本的概念，也是矩阵最重要的数量特征之一，它在初等变换下是一个不变量.它反映矩阵固有特性的一个重要概念。

1.矩阵的秩的概念

一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。所谓矩阵的行秩就矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩。矩阵的行秩等于矩阵的列秩，并统称为矩阵的秩，记作R（A）

例如，矩阵

的行向量组是

＝（1,1,3,1）＝(0,2,—1,4）

＝（0，0,0，5)＝（0，0,0,0）

可以证明，,,,是向量组的一个极大线性无关组，事实上，由

=0可得,这就证明了线性无关。因为是零向量，所以添上后就线性相关了.因而向量组的秩为3，即向量组的行秩为3。A的列向量组是

=（1,0,0，0）,=(1,2,0,0）,

=（3,-1,0，0)，=（1,4,5,0）

同样的方法证明线性无关，且是列向量组的一个极大线性无关组。于是列向量组的秩为3。

2。秩的求法

2。1子式判别法

（根据定义）?一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”。

2.2初等变换法

用初等变换法求矩阵的秩。根据定理2?矩阵初等变换不改变矩阵的秩。

1、利用初等行变换化矩阵A为阶梯形矩阵B。

2、阶梯形矩阵B非零行的行数即为矩阵A的秩。

例：求向量组的秩

解：设

对矩阵A作初等变换，可得

所以的秩为3.

3．矩阵的秩的应用

在矩阵理论中，矩阵的秩是一个重要的概念。它是矩阵的一个数量特征,而且是初等变换下的不变量。矩阵的秩与矩阵是否可逆、线性方程组的解的情况等都有着密切的联系。

3.1方程组与矩阵的秩

3.1。1判断齐次线性方程组有非零解

齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵A的行列式为零，矩阵A的行列式为零的充分必要条件是A的秩小于n。

3.1。2判断非齐次线性方程组的解

非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件是系数矩阵A的秩为n；

非齐次线性方程