2024届河北省衡水中学高三下学期三校五测数学试题试卷.doc

2023届河北省衡水中学高三下学期三校五测数学试题试卷

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知中内角所对应的边依次为，若，则的面积为（）

A． B． C． D．

2．下图为一个正四面体的侧面展开图，为的中点，则在原正四面体中，直线与直线所成角的余弦值为（）

A． B．

C． D．

3．正项等比数列中，，且与的等差中项为4，则的公比是()

A．1 B．2 C． D．

4．已知集合A={x|y=lg（4﹣x2）}，B={y|y=3x，x＞0}时，A∩B=（）

A．{x|x＞﹣2}B．{x|1＜x＜2}C．{x|1≤x≤2}D．?

5．函数的对称轴不可能为（）

A． B． C． D．

6．已知函数，关于x的方程f（x）＝a存在四个不同实数根，则实数a的取值范围是（）

A．（0，1）∪（1，e） B．

C． D．（0，1）

7．设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则a的值为（）

A． B．3 C．1 D．

8．已知，，，是球的球面上四个不同的点，若，且平面平面，则球的表面积为（）

A． B． C． D．

9．下列函数中，在区间上为减函数的是（）

A． B． C． D．

10．已知复数z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，则实数a＝（）

A． B． C．2 D．﹣2

11．已知等差数列中，，则（）

A．20 B．18 C．16 D．14

12．定义在上的函数与其导函数的图象如图所示，设为坐标原点，、、、四点的横坐标依次为、、、，则函数的单调递减区间是（）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若，则______.

14．从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名代表，甲被选中的概率为__________.

15．已知点是直线上的一点，将直线绕点逆时针方向旋转角，所得直线方程是，若将它继续旋转角，所得直线方程是，则直线的方程是______.

16．若变量，满足约束条件则的最大值是______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）设直线与抛物线交于两点，与椭圆交于两点，设直线（为坐标原点）的斜率分别为，若.

（1）证明：直线过定点，并求出该定点的坐标；

（2）是否存在常数，满足？并说明理由.

18．（12分）（选修4-4：坐标系与参数方程）

在平面直角坐标系，已知曲线（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）过点且与直线平行的直线交于，两点，求点到，的距离之积．

19．（12分）已知三棱柱中，，是的中点，，.

（1）求证：；

（2）若侧面为正方形，求直线与平面所成角的正弦值.

20．（12分）已知函数，.

（1）若不等式对恒成立，求的最小值；

（2）证明：.

（3）设方程的实根为.令若存在，，，使得，证明：.

21．（12分）中国古代数学经典《数书九章》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马中，底面ABCD是矩形.平面，，，以的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于M（异于点D），交PC于N（异于点C）.

（1）证明：平面，并判断四面体MCDA是否是鳖臑，若是，写出它每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

22．（10分）已知．

（1）若的解集为，求的值；

（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A

【解析】

由余弦定理可得，结合可得a，b，再利用面积公式计算即可.

【详解】

由余弦定理，得，由，解得，

所以，.

故选：A.

【点睛】

本题考查利用余弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.

2．C

【解析】

将正四面体的展开图还原为空间几何体，三点重合，记作，取中点，连接，即为与直线所成的角，表示出三角形的三条边长，用余弦定理即可求得.

【详解】

将展开的正四面体折叠，可得原正四面体如下图所示，其中三点重合，记作：

则为中点