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沪科版八年级数学下册知识总结

第十六单元二次根式

二次根式知识点：

知识点一：二次根式的概念

形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方

根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，

等都不是二次根式。

知识点二：取值范围

1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有

意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。

知识点三：二次根式（）的非负性

（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。

注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负

数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、

偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若

，则a=0,b=0。

知识点四：二次根式（）的性质（）

文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若

，则，如：，.

知识点五：二次根式的性质

文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注意：

1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即

；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；

2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；

3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

知识点六：与的异同点

1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数

a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，

即，。因而它的运算的结果是有差别的，，而

2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.

知识点七：二次根式的性质和最简二次根式

如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√a（a≥0）、√x+y等；

2222

含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、√a、√（x+y）、√x+2xy+y等

（3）最终结果分母不含根号。

满足最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是因式是整式。（2）被开方数不含能开的尽方的因数或因

式。

知识点八：二次根式的乘法和除法

1.积的算数平方根的性质√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）

2.乘法法则√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）

二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

注意：两个二次根式相乘，如果两个被开方数有公因数或公因式，就直接用乘法法则，若没有公因数或公因式，就分

别化为最简二次根式，再利用乘法法则。

3.除法法则√a÷