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立体几何中的夹角问题

一、选择题(每小题5分,共20分)

1.两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面的夹角为 ()

A.45° B.60° C.90° D.135°

2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的正弦值为 ()

A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE

3.正方形ABCD所在平面外有一点P,PA⊥平面ABCD.若PA=AB,则平面PAB与平面PCD的夹角的大小为 ()

A.30° B.45° C.60° D.90°

4.(多选题)已知向量a=(QUOTE,0,-QUOTE),则下列向量中与a所成的夹角为钝角的是 ()

A.(0,0,2) B.(2,0,0)

C.(0,QUOTE,QUOTE) D.(QUOTE,-QUOTE,0)

5.如图所示,已知点P为菱形ABCD所在平面外一点,且PA⊥平面ABCD,

PA=AD=AC,点F为PC中点,则平面CBF与平面BFD夹角的正切值为 ()

A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE

二、填空题

6.在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0,-1,3),(2,2,4),则这个二面角的余弦值为.?

7.如图所示,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则的最大值为.?

8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是平面A1B1C1D1的中心,则异面直线AD1,OB所成角的余弦值为,BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为.?

9.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,则直线EF和BC1所成的角是.?

三、解答题

10.如图所示,已知在四面体ABCD中,O为BD的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=QUOTE,求异面直线AB与CD所成角的余弦值.

11.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.

(1)求证:MN∥平面BDE;

(2)求平面CEM与平面EMN夹角的正弦值.

12.如图所示的几何体中,平面ADNM⊥平面ABCD,四边形ABCD是菱形,ADNM是矩形,∠DAB=QUOTE,AB=2,AM=1,E是AB的中点,在线段AM上是否存在点P,使平面PEC与平面ECD夹角的大小为QUOTE?若存在,求出AP的长;若不存在,请说明理由.

参考答案

一、选择题

1.两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面的夹角为 ()

A.45° B.60° C.90° D.135°

【解析】选A.cosm,n=QUOTE=QUOTE=QUOTE,

即m,n=45°.所以两平面的夹角为45°.

2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角θ的正弦值为 ()

A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE

【解析】选B.设正方体的棱长为1,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.则B(1,1,0),B1(1,1,1),

A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),

所以=(0,0,1),=(-1,1,0),=(-1,0,1).令平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),则n·=-x+y=0,n·=-x+z=0,令x=1,可得n=(1,1,1),

所以sinθ=|cosn,|=QUOTE=QUOTE.

3.正方形ABCD所在平面外有一点P,PA⊥平面ABCD.若PA=AB,则平面PAB与平面PCD的夹角的大小为 ()

A.30° B.45° C.60° D.90°

【解析】选B.建立空间直角坐标系如图,设AB=1,

则A(0,0,0),B(0,1,0),

P(0,0,1),D(1,0,0),C(1,1,0).

可知平面PAB的一个法向量为n1=(1,0,0).

设平面PCD的法向量为n2=(x,y,z),

则得QUOTE令x=1,则z=1.

所以n2=(1,0,1),cosn1,n2=QUOTE=QUOTE.