数学分析 课件 第12章级数.pptVIP

§3一般项级数三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法返回由于非正项级数(一般项级数)的收敛性问题要比正项级数复杂得多,所以本节只对某些特殊类型级数的收敛性问题进行讨论.一、交错级数二、绝对收敛级数及其性质一、交错级数若级数的各项符号正负相间,即则称为交错级数.定理12.11(莱布尼茨判别法)若交错级数(1)满足:则级数(1)收敛.证考察交错级数(1)的部分和数列{Sn},它的奇数项和偶数项分别为由条件(i),上述两式中各个括号内的数都是非负的,从而{[S2m,S2m-1]}是一个区间套.由区间套定理,存推论若级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件,则收敛级数(1)的余项估计式为对于下列交错级数,应用莱布尼茨判别法,容易检验它们都是收敛的:在惟一的实数S,使得例7讨论级数的敛散性.解因为根据推论1,当0x1时级数收敛;当x1时级数发散;而当x=1时,所考察的级数是,它显然也是发散的.性作出判断.例如级数它们的比式极(§1例5),却是发散的(§1例3).若某级数的(7)式的极限不存在,则可应用上、下极限来判别收敛性.若(7)中q=1,这时用比式判别法不能对级数的敛散*推论2设为正项级数.*例8研究级数的敛散性,其中0bc.解由于故有于是当c1时,级数(8)收敛;当b1时,级数(8)发散;但当b1c时,比式判别法无法判断级数(8)的敛散性.定理12.8(柯西判别法,或根式判别法)设为正项级数,且存在某正数于情形(ii),由(10)式可得不可能以零为极限,因而由级数收敛的必要条件可知,级数是发散的.证由(9)式有因为等比级数故由比较原则,这时级数也收敛,对则证由(11)式,存在某正数N,对一切nN,有于是由根式判别法就得到推论所要证明的结论.推论1(根式判别法的极限形式)设为正项级数,且例9研究级数的敛散性.解由于所以级数是收敛的.若在(11)式中l=1,则根式判别法仍无法对级数的敛散性做出判断.例如都有发散的.若(11)式的极限不存在,则可根据根式的上极限来判断.*推论2设为正项级数,且则当(i)l1时级数收敛;(ii)l1时级数发散.*例10考察级数的敛散性，其中解由于故因此级数是收敛的.如果应用比式判别法,由于我们就无法判断其收敛性.根据第二章总练习题4(7),当时,必有这说明凡能由比式判别法判别收敛性的级数,也能由根式判别法来判别,亦即根式判别法较之比式判别法更为有效.例如级数由于故比式判别法无法鉴别此级数的收敛性.但应用根式判别法却能判定此级数是收敛的(例9).那么,是否就不需要比式判别法了？请看下面例子.例11判别下列级数的敛散性：解(i)因为由比式判别法，原级数为收敛.(ii)因为由根式判别法,原级数为收敛.注由于极限很难求,所以上例中的(i)不采用根式法.三、积分判别法由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数,局限性较大,所以还需要建立一些更有效的判别法.定理12.9(积分判别法)设上非负减函数,那么正项级数同时收敛或同时发散.证由假设上非负减函数,对任何正数A,f在[1,A]上可积,于是依次相加可得若反常积分收敛,则由(12)式左边,对任何正整数m,有根据定理12.5,级数收敛.反之,若为收敛级数,则由(12)式右边,对任一正整数m(1)有因为f(x)为非负减函数,故对任何正数A,都有用同样方法,可以证明是同时发散的.例12讨论解函数上是非负减函时发散.至于的情形,则可由收敛的必要条件知它也是发散的.例13讨论下列级数的敛散性.解推得级数(ii)在p1时收敛,在时发散.由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数,如果级数的通项收敛速度较慢,它们就失效了,如p级数.拉贝(Raabe)判别法是以p级数为比较对象,这类级数的通项收敛于零的速度较慢,因此较比式或根式法在判断级数收敛时更精细.*四、拉贝判别法定理12.10(