7函数性质（学生版）.doc

函数的性质

一：教学目标

从函数的图像和解析式理解函数的性质（奇偶性，单调性，最值）,利用其性质解题。

二：教学重难点

(1)函数的单调性及其几何意义．

(2)利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．

(3)函数的奇偶性及其几何意义．

(4)判断函数的奇偶性的方法与格式．

三：新课引入

请同学们观察以下：四个函数的图象，

问：这些图象对称性有什么特点？

四：新知呈现

知识点1：函数的奇偶性

1．偶函数（evenfunction）

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

2．奇函数（oddfunction）

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

备注：

eq\o\ac(○,1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

eq\o\ac(○,2)由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；

奇函数的图象关于原点对称．

奇函数的单调性是一致的；但是偶函数的单调性关于Y轴刚好相反。

知识点2：函数的单调性

1.一般地，设函数的定义域为：

?

增函数

减函数

定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，

当x1＜x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数

X1＜x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数

?

增函数

减函数

图象描述

自左向右看图象是

逐渐上升的

自左向右看图象是：逐渐下降的

备注：

eq\o\ac(○,1)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

eq\o\ac(○,2)必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)．

知识点3：:函数的单调区间定义

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：

知识点4：判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

eq\o\ac(○,1)任取x1，x2∈D，且x1x2；

eq\o\ac(○,2)作差f(x1)－f(x2)；

eq\o\ac(○,3)变形（通常是因式分解和配方）；

eq\o\ac(○,4)定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

eq\o\ac(○,5)下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

知识点5：复合函数单调性的判断

对于函数和，如果在区间上是具有单调性，当时，，且在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性的规律见下表：

增↗

减↘

增↗

减↘

增↗

减↘

以上规律还可总结为：“同增异减”.

知识点6：最值

最大值定义：如果有，使得不等式对一切成立，就说在处取到最大值,称为的最大值，为的最大值点。

最小值定义：如果有，使得不等式对一切成立，就说在处取到最小值,称为的最小值，b为的最小值点。

五：典型例题

考点1：判断函数奇偶性

例1．判断下列各函数的奇偶性：

（1）；（2）；

（3）．

考点2：奇偶性与函数解析式

例2已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，且定义域为［a－1，2a］，则a=_____________，b=____________.

例3：已知函数，且，则=。

考点3：函数奇偶性的运用

例4：奇函数在定义域上为减函数，且满足，求实数的取值范围。

例5．已知函数对一切，都有，

（1）求证：是奇函数；（2）若，用表示．

例6．设为实数，函数，．

（1）讨论的奇偶性；（2）求的最小值．

考点4：函数单调性的判断

例7：如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.

例8：讨论函数在(-2,2)内的单调性.

例9：对于函数y=x3,(1)画出它的图象，(2)写出它的单调区间，并用定义证明之.

练习1：证明函数在R上是增函数.

练习2：证明函数在(0,+)上是减函数.

考点5：函数单调性的运用

例10.如果函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是（）

A.[－3，＋∞)B.(－∞，－3]C.(－∞