2024年北师大版九年级上册教学设计第四章4.7 相似三角形的性质.docx

第1课时相似三角形对应线段的比

课时目标

1.经历探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系的过程,理解相似三角形的性质.利用相似三角形的性质解决一些实际问题.

2.培养学生的探索精神和合作意识;通过运用相似三角形的性质,增强学生的应用意识.在探索过程中发展学生类比的数学思想及全面思考的思维品质.

学习重点

探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系.

学习难点

利用相似三角形的性质解决一些实际问题.

课时活动设计

复习回顾

如图,已知△ABC∽△ABC,AB=2,AB=4,AC=5,则AC=10.?

设计意图:以练习题的形式带领学生回顾之前知识点,巩固学生对以前知识的理解,同时激发学生学习兴趣,为本节课作铺垫.

探究活动一

在生活中,我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图,小王依据图纸上的△ABC,以1∶2的比例建造了模型房的房梁△ABC,CD和CD分别是它们的立柱.

教师提出问题,学生尝试进行解答.

(1)试写出△ABC与△ABC的对应边之间的关系,对应角之间的关系.

(2)△ACD与△ACD相似吗?为什么?如果相似,指出它们的相似比.

(3)如果CD=1.5cm,那么模型房的房梁立柱有多高?

(4)据此,你可以发现相似三角形怎样的性质?

解:(1)ABAB=BCB

∠A=∠A,∠B=∠B,∠ACB=∠ACB.

(2)△ACD∽△ACD.

理由:∵CD⊥AB,CD⊥AB,

∴∠ADC=∠ADC=90°.

∵∠A=∠A,

∴△ACD∽△ACD(两个角分别相等的两个三角形相似).

∴ACAC=ADA

(3)∵CDCD=12,

∴CD=3cm.

(4)相似三角形对应高的比等于相似比.

设计意图:通过学生熟悉的建筑模型入手,从相似三角形的最基本性质展开研究,使学生明确相似比与对应高的比的关系.

探究活动二

如图,已知△ABC∽△ABC,△ABC与△ABC的相似比为k,AD平分∠BAC,AD平分∠BAC;E,E分别为BC,BC的中点.

(1)试探究AD与AD的比值关系.

(2)AE与AE呢?

要求:类比探究,小组合作,至少证明其中一个结论.

解:(1)∵△ABC∽△ABC,

∴∠BAC=∠BAC,∠B=∠B,ABA

∵AD平分∠BAC,AD平分∠BAC,

∴∠BAD=∠BAD.

∴△BAD∽△BAD(两个角分别相等的两个三角形相似).

∴ADAD=AB

(2)∵△ABC∽△ABC,

∴∠B=∠B,ABAB

∵E,E分别为BC,BC的中点,

∴BE=12BC,BE=1

∴BEBE

∵ABAB=

∴ABAB

∵∠B=∠B,

∴△BAE∽△BAE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).

∴AEAE=AB

教师引导学生自主探究,及时给予指导,最后进行归纳总结.

小结:相似三角形对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.

设计意图:通过小组合作,类比前面的探究过程,提高学生主动探究意识,发展类比思维与归纳总结的能力.

探究活动三

如图,已知△ABC∽△ABC,△ABC与△ABC的相似比为k(k0),点D,E在BC边上,点D,E在BC边上.

(1)若∠BAD=13∠BAC,∠BAD=13∠BAC,则

(2)若BE=13BC,BE=13BC,则

(3)你能得到哪些结论?

解:(1)∵△ABC∽△ABC,

∴∠BAC=∠BAC,∠B=∠B,ABA

∵∠BAD=13∠BAC,∠BAD=13∠

∴∠BAD=∠BAD.

∴△BAD∽△BAD(两个角分别相等的两个三角形相似).

∴ADAD=AB

(2)∵△ABC∽△ABC,

∴∠B=∠B,ABAB

∵BE=13BC,BE=13

∴BEBE

∵ABAB=

∴ABAB

∵∠B=∠B,

∴△BAE∽△BAE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).

∴AEAE=AB

(3)相似三角形对应角的n等分线的比和对应边的n等分线的比均等于相似比.

设计意图:通过问题探索,提升学生类比探究与独立解决问题的能力.

典例精讲

例如图,AD是△ABC的高,AD=h,点R在AC边上,点S在AB边上,SR⊥AD,垂足为E.当SR=12BC时,求DE的长.如果SR=13

解:∵SR⊥AD,BC⊥AD,∴RS∥BC.

∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C.

∴△ASR∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似).

∴AEAD=SRBC,即AD-

当SR=12BC时,得?-DE?=12

当SR=13BC时,得?